Integral

70 – Matem´ticas 1 a

Parte II

C´lculo integral en I a R

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian e

Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013

71 – Matem´ticas 1 : C´lculo integral en I a a R

Cap´ ıtulo 7

Integral de Riemann
7.1
7.1.1

Sumas inferiores y superiores
Particiones de un intervalo

Definici´n 142.- Se llama partici´n de un intervalo cerrado [a, b] a cualquier conjuntofinito de puntos P = o o {x0 , x1 , . . . , xn } tales que a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Una partici´n divide al intervalo como uni´n de o o intervalos m´s peque˜os, es decir, a n [a, b] = [a, x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ · · · ∪ [xn−2 , xn−1 ] ∪ [xn−1 , b] =
n i=1 [xi−1 , xi ]

La longitud de estos subintervalos se denomina incremento de xi y se representa por ∆xi = xi − xi−1 . Denotaremos por P[a, b] alconjunto de todas las particiones del intervalo cerrado [a, b] . Considerando en el conjunto la relaci´n de orden de inclusi´n, diremos que P2 es m´s fina que P1 , si P1 ⊆ P2 . o o a Como P2 tiene todos los puntos de P1 y quiz´s alguno m´s, cada subintervalo obtenido con P2 est´ a a a contenido en alguno de los dados por P1 , es decir, la partici´n dada por P2 es m´s fina que la dada por P1 . o aEjemplo trozos Sea [0, 1] , entonces P =
1 4]

0, 1 , 2 , 3 , 1 4 4 4

es una partici´n de [0, 1] , que “parte” el intervalo en 4 o ∆xi =
1 4

La la partici´n P2 = 0, 2 , 1 es menos fina que la o 4 partici´n P . Es decir, P2 ⊆ P ⊆ P1 . o Sea [a, b] , entonces la partici´n P = a, a + b−a , a + 2(b−a) , . . . , a + (n−1)(b−a) , b divide al intervalo [a, b] o n n n en n subintervalos de longitudb−a n

[0, 1] = [0, ∪ [ 1 , 2 ] ∪ [ 2 , 3 ] ∪ [ 3 , 1] , de igual longitud 4 4 4 4 4 partici´n P1 = 0, 1 , 1 , 2 , 3 , 1 es m´s fina que P y o a 4 3 4 4

, para i = 1, 2, 3, 4 .

: [a, b] = ∪

n

k=1

a+

(k−1)(b−a) , n

a+

k(b−a) n

.

7.1.2

Sumas inferiores y superiores

Definici´n 143.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´n acotada y P ∈ P[a, b] . En cada subintervalo[xi−1 , xi ] , o o considemos el inferior y el superior de f en ´l: e mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi } Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.
n n

Llamarenos suma inferior de f para la partici´n P al valor o y llamaremos suma superior de f para la partici´n P a o

L(f, P ) =
n i=1

mi (xi − xi−1 ) =
n i=1 i=1

mi ∆xi

U (f, P ) =
i=1

Mi (xi − xi−1 ) =

Mi ∆xi .

Si la funci´n espositiva, gr´ficamente las sumas inferiores o a significan dar una cota por defecto del valor del ´rea que a encierra la funci´n con el eje de abcisas (es la suma de las o a ´reas de los rect´ngulos de base ∆xi y altura mi ), y las a sumas superiores una cota por exceso del valor del ´rea. a En la figura de la derecha, el valor de la suma inferior es el a ´rea de la zona gris oscuro y el valor de la sumasuperior el de dicha zona m´s las ´reas de los rect´ngulos superiores. a a a Puede observarse como el ´rea que encierra la curva est´ a a precisamente entre ambos valores.

M m

a

b

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72 – Matem´ticas 1 : C´lculo integral en I a a R

7.2 Integral de una funci´n real de variable real o

Ejemplo 144 Sitomamos f : [0, 1] −→ R donde f (x) = 2x , y la partici´n P = o [0, 1] = [0, 1 ] ∪ [ 1 , 2 ] ∪ [ 2 , 1] y que ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 3 3 3 3 m1 = inf{2x : x ∈ [0, 1 ]} = 0 3 m2 = inf{2x : x ∈ [ 1 , 2 ]} = 3 3 m3 = inf{2x : x ∈ [ 2 , 1]} = 3 L(f, P ) = 0 ·
1 3 2 3 4 3 2 3 1 3

0, 1 , 2 , 1 , se tiene que 3 3

. Luego M1 = sup{2x : x ∈ [0, 1 ]} = 3 M2 = sup{2x : x ∈ [ 1 , 2 ]} = 3 3
2 3 4 3

M3 =sup{2x : x ∈ [ 2 , 1]} = 2 3 U (f, P ) =
2 3

+

2 3

·

1 3

+

4 3

·

1 3

=

·

1 3

+

4 3

·

1 3

+2·

1 3

=

4 3

Como el ´rea encerrada por la funci´n es 1 (es el ´rea de un tri´ngulo de altura 2 y base 1 ), se verifica que a o a a L(f, P ) = 2 ≤ 1 ≤ 4 = U (f, P ) . 3 3 Propiedades 145.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´n acotada. o a) Para toda P ∈...