integrales aplicada a casos de la vida real

IES Antonio Mª Calero

Dpto. Matemáticas. A. Castro Galán
2º Bach-CT

Integral definida. Aplicaciones.

i Área definida bajo una curva.
Multitud de problemas que se plantean en la vida real se resuelven calculando el área bajo
la curva de una función. Ej: ( Espacio, Velocidad, Trabajo, Volumen, Caudal….).

Se trata de encontrar el área limitada por una
curva de ecuación y = f ( x)continua y
positiva, el eje de abscisas y dos ordenadas
x=a, y x=b.
• Trapecio mixtilineo ( figura determinada

P por la curva y = f ( x) , el eje OX y las
rectas x=a y x=b).

Supongamos que dividimos el intervalo
 a, b  en n+1 partes. Aplicamos la regla del trapecio para hallar el área aproximada




bajo la curva.

Área trapecio mixtilineo ≃ Área trapecio rectilineo
Área(R) ≡f ( xn −1 ) + f (b) 
 f (a ) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x2 )
≡ h⋅
+
+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +

2
2
2


f (b) 
 f (a)
≡ h⋅
+ f ( x1 ) + f ( x2 ) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + f ( xn −1 ) +
2 
 2


Al aumentar el número de divisiones, el valor del
área obtenida se acerca cada vez más al área
exacta del recinto R. Cada valor así obtenido es
una aproximación del área.

 f ( a)

Área Tn = Área( R ) = n→∞ h ⋅ 
lim

 2

+ f ( x1 ) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ f ( xn−1 ) +

f (b) 
2 


El área de este trapecio curvilíneo se puede aproximar también por sumas inferior y
superior de áreas de rectángulos que tienen la misma base y cuyas alturas son
respectivamente el valor máximo y mínimo de la función en ese intervalo.
1

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*Aproximación por defecto del área.
Recinto ( sIn ) ; s ( f ( x), RIn ) ≡ suma inferior
aproximada asociada a la partición P.

sIn = m1 ( x1 − x0 ) + m2 ( x2 − x1 ) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

+mn ( xn − xn−1 ) ⇒
n

⇒ sn = ∑( xi − xi−1 ) ⋅ mi ⇒
i =1

los valores de estas sumas van creciendo
según aumenta el número de particiones.
-Partición de un intervalo ≡ una partición P, de un intervalo a, b  , es una colección finita




de puntos de  a, b  :




P = { x0 = a, x1, x2 , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, xn = b} dónde: a = x0 < x1 < x2 < ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ < xn = b .
Una partición de n+1 puntos divide un intervalo en n subintervalos.
*Aproximación por exceso del área.

Recinto ( S Su ) ; S ( f ( x), RSu ) ≡ suma superior
aproximada asociada a la partición P.

(

)

(

)

S Su = M1 x1 −x0 + M 2 x2 − x1 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

+ M n ( xn − xn−1 ) ⇒
n

⇒ SSu = ∑ ( xi − xi −1 ) ⋅ M i ⇒
i =1

los valores de estas sumas van decreciendo
según aumenta el número de particiones.
El área del recinto R está comprendida entre sIn y S Su ; sIn ≤ A ≤ SSu (A es el área del

(

)

recinto R. f ( x),  a, b  . Si el número de divisiones aumenta, el máximo y el mínimo


en cada uno delos intervalos se aproximan con lo que:

(

)

lim
lim
lim
Área R f ( x),  a, b  = n→∞ sIn = n→∞ Tn = n→∞ SSu



2

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Este límite común recibe el nombre de Integral Definida de la función f ( x) en  a, b 


y se designa por





∫a f ( x) dx = Área R ( f ( x), a, b )
b

*Los límites a yb se llaman límites inferior y superior de integración,
respectivamente.
* f ( x) → integrando
b

∫a f ( x) dx =Área de la región si
b
entonces el Área = −∫ f ( x) dx .
a

Se tiene que

f ( x) > 0 ; sí f ( x) < 0 en  a, b 




• Propiedades.

1. Si c es un punto interior de  a, b  entonces:


2. Si a=b entonces

a



b

∫a

c

b

a

c

f ( x) dx = ∫f ( x) dx + ∫ f ( x) dx

f ( x) dx = 0

∫a

3. Si permutamos los límites de integración, la integral cambia de signo.
b

a

∫a f ( x) dx = −∫b

f ( x) dx

4. Integral de la suma o diferencia de dos funciones es igual a la suma o
diferencia de las integrales de las funciones

∫a ( f ( x) ± g ( x) ) dx = ∫a
b

b

b

f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
a

5. Integral del producto de...