integrales con explicacion

Cap´
ıtulo 5

La Integral Definida
5.1.

Partici´n
o

Un conjunto finito de puntos P = {x0 , x1 , x2 , · · · , xn } es una partici´n de [a, b]
o
si, y solamente si,
a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn = b.

5.2.

Suma Superior y Suma Inferior

Sea y = f (x), una funci´n continua en [a, b]. Designemos por m y M sus valores
o
m´
ınimo y m´ximo, respectivamentem, en este intervalo.
aSea la partici´n de [a, b], mediante los puntos a = x0 , x1 , x2 , · · · , xn = b, siendo
o
x0 < x1 < x2 · · · < xn y llamemos x1 −x0 = x1 , x2 −x1 = x2 , · · · , xn −xn−1 =
xn .
Designemos ahora los valores m´
ınimo y m´ximo de la funci´n f (x), en el intervalo
a
o
[x0 , x1 ], por m1 y M1 , en [x1 , x2 ] por m2 y M2 , · · · en [xn−1 , xn ] por mn y Mn ,
respect´
ıvamente, formemos lassumas:
n

Sn = m1 x1 + m2 x2 + · · · + mn xn =

mi xi
i=1
n

Sn = M1 x1 + M2 x2 + · · · + Mn xn =

Mi xi
i=1

1

Luis Zegarra.

La Integral Definida

2

a: Sn llamamos suma inferior y a Sn llamamos suma superior.
Propiedades
1. Como mi ≤ Mi ∀i es inmediato Sn ≤ Sn .
2. Sea m el valor m´
ınimo de f (x) en [a, b]; luego tenemos mi ≥ m entonces:
Sn = m1 x1 +· · ·+mn xn ≥ mx1 +· · ·+m xn = m( x1 +· · ·+ xn ) =
m(b − a) =⇒ Sn ≥ m(b − a).
3. Sea M el valor m´ximo de f (x) en [a, b], Mi ≤ M , entonces: Sn ≤ M (b−a).
a
4. m(b − a) ≤ Sn ≤ Sn ≤ M (b − a).

5.3.

Definici´n
o

Integral definida en sentido de Riemann. Si una funci´n f (x) est´ definida en
o
a
[a, b] y a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b as´ en cada uno de los intervalı
os [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], ·· · , [xn−1 , xn ] elijamos un punto que designamos respect´
ıvamente por ξ1 , ξ2 , · · · , ξn , luego: x0 < ξ1 < x1 , x1 < ξ2 < x2 , · · · , xn−1 < ξn < xn
en cada uno de los puntos evaluemos: f (ξ1 ), f (ξ2 ), · · · , f (ξn ), y formemos la suma:
n

Sn = f (ξ1 ) x1 + f (ξ2 ) x2 + · · · + f (ξn ) xn =

f (ξi ) xi
i=1

se llama suma integral de la funci´n f (x) en el intervalo [a, b],obs´rvese que:
o
e
n

n

mi x i ≤
i=1

n

f (ξi ) xi ≤
i=1

Mi xi ⇐⇒ Sn ≤ Sn ≤ Sn
i=1

Designemos por m´x [xi−1 , xi ], a la mayor longitud de los intervalos [xo , x1 ], [x1 , x2 ],
a
· · · , [xn−1 , xn ]. Consideremos diferentes particiones de [a, b] en los intervalos [xi−1 , xi ]
tales que m´x [xi−1 , xi ] → 0.
a
Si para cualquier partici´n del intervalo [a, b], tal que m´x
oa
n

que sean los puntos ξi , la suma

xi → 0 cualquiera

f (ξi ) xi , tiende a un mismo l´
ımite I, se dice
i=1

Luis Zegarra.

La Integral Definida

3

que la funci´n f (x) es integrable en [a, b] al l´
o
ımite I se llama integral definida
de la funci´n f (x) en [a, b] y se designa por:
o
b

f (x)dx
a

Entonces podemos escribir:
n

l´
ım
m´x xi →0
a

b

f(ξi ) xi =
i=1

f (x) dx
a

los n´meros a y b se llaman, respect´
u
ıvamente, l´
ımite inferior y superior de la
integral , a ”x” se llama variable de integraci´n.
o
Observaciones:

a
1. Notemos que, el m´x
pues tambien

xi → 0 es equivalente a afirmar que n → ∞, asi
n

l´
ım

n→∞

b

f (εi ) xi =
i=1

f (x)dx
a

2. Indiquemos sin demostraci´n que si la funci´n y = f(x) es continua en [a, b],
o
o
es integrable en [a, b].
3. Si f (x) es continua:
n

l´
ım
m´x xi →0
a

i=1

n

b

mi xi =

f (x)dx =
a

l´
ım
m´x xi →0
a

Mi x1
i=1

4. Entre las funciones discontinuas hay funciones integrables y no integrables.
b

5. Si graficamos y = f (x), en [a, b], f (x) ≥ 0, la integral

f (x)dx ser´ num´ria
e
a

camente igual al ´rea Adel llamado trapecio curvil´
a
ıneo formado por la curva
y = f (x), las rectas x = a, x = b y el eje X.

Luis Zegarra.

La Integral Definida

4

6. Observemos que la integral definida depende s´lo de la forma de f (x) y de
o
los l´
ımites de integraci´n, pero no de la variable de integraci´n, luego:
o
o
b

b

b

f (x)dx =
a

f (t)dt = · · · =

f (z)dz

a

a...