Integrales De Linea y Superficie
Páginas: 4 (976 palabras)
Publicado: 12 de abril de 2012
3.3 INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE
(33_CV_T_v13; 2005.w21.5; 5/8 C25)
1. Integrales de línea
Sea F un campo vectorial Consideremos r1
F(ri)
lim ∑ F ri gdri n → ∞ i=1
n
∫
r2
r1Fgdr =
∫
2
1
Fgdr ≡
( )
r2
Si F es una fuerza
∫
r2
r1
Fgdr = w es el trabajo (escalar) que hace la fuerza al moverse de r1 a
r2. Para resolver la integral esnecesario parametrizar el camino Ej. y r2= (1, 1) y= x2
c: x=t 0 ≤ t ≤ 1 y = t2
r1= (0, 0) Sea
ˆ F = xy i + 3xˆ j
x
j j ∫ (t iˆ + 3t ˆ)g( iˆ + 2t ˆ) dt = ∫ (
1 3 1 0 0
∫
r2
r1Fgdr =
t4 1 9 t + 3t dt = + 2t 3 = + 2 = 4 4 4 0
3 2
)
1
ˆ r = xi + y ˆ = t i + t 2 ˆ j ˆ j ˆ ˆ dr = dxi + dy ˆ = dt i + 2tdt ˆ = i + 2t ˆ dt j j ˆ j
(
)
w=
∫
r2
r1Fgdr ⇒
∫
t2
t1
f (t)dt =
9 4
al parametrizar la integral se convierte en una integral
con respecto al parámetro. t2 dr dr Si t es el tiempo, Fg es la potencia y ∫ Fg dt es eltrabajo. t1 dt dt Si consideramos otro camino y r2= (1, 1) y= x
ˆ ˆ j r = xi + y ˆ = x i + ˆ j
r2 1 2 r1 0
( ) j j ∫ Fgdr = ∫ ( x iˆ + 3x ˆ)g( iˆ + ˆ) dx = ∫ ( x
ˆ j dr = i + ˆ dx
1 0
(
)2
+ 3x dx
1
)
x 3 3x 2 1 3 11 = + = + = 3 2 0 3 2 6
r1= (0, 0)
x 1
Diferente camino ⇒ diferente resultado Si escogemos otra parametrización: x = y = et
ˆ ˆ j F = e2t i + 3et ˆr = et i + ˆ j
r2 ln1 2t t r1 −∞
) dr = e ( iˆ + ˆj ) dt j j ∫ Fgdr = ∫ ( e iˆ + 3e ˆ)ge ( iˆ + ˆ) dx = ∫ ( e + 3e ) dt
t
t ln1 3t 2t −∞
(
−∞ < t ≤ ln1
( ln1 ≡ 0) ( e
0
=1
)e3t 3e2t = + 3 2
1
=
0
1 3 11 + = 3 2 6
De hecho, se puede probar que la parametrización no cambia el resultado. (Escogemos la más fácil y no algo como
x = y = sen t 2
0 ≤ t ≤ sen−11
( ))
Sin embargo, nos podemos preguntar para que tipo de fuerzas camino. ⇒ Para F conservativa (esto es si F = ∇φ para alguna φ). [Nos adelantamos y decimos que ∇φ =
∫
r2
r1...
(33_CV_T_v13; 2005.w21.5; 5/8 C25)
1. Integrales de línea
Sea F un campo vectorial Consideremos r1
F(ri)
lim ∑ F ri gdri n → ∞ i=1
n
∫
r2
r1Fgdr =
∫
2
1
Fgdr ≡
( )
r2
Si F es una fuerza
∫
r2
r1
Fgdr = w es el trabajo (escalar) que hace la fuerza al moverse de r1 a
r2. Para resolver la integral esnecesario parametrizar el camino Ej. y r2= (1, 1) y= x2
c: x=t 0 ≤ t ≤ 1 y = t2
r1= (0, 0) Sea
ˆ F = xy i + 3xˆ j
x
j j ∫ (t iˆ + 3t ˆ)g( iˆ + 2t ˆ) dt = ∫ (
1 3 1 0 0
∫
r2
r1Fgdr =
t4 1 9 t + 3t dt = + 2t 3 = + 2 = 4 4 4 0
3 2
)
1
ˆ r = xi + y ˆ = t i + t 2 ˆ j ˆ j ˆ ˆ dr = dxi + dy ˆ = dt i + 2tdt ˆ = i + 2t ˆ dt j j ˆ j
(
)
w=
∫
r2
r1Fgdr ⇒
∫
t2
t1
f (t)dt =
9 4
al parametrizar la integral se convierte en una integral
con respecto al parámetro. t2 dr dr Si t es el tiempo, Fg es la potencia y ∫ Fg dt es eltrabajo. t1 dt dt Si consideramos otro camino y r2= (1, 1) y= x
ˆ ˆ j r = xi + y ˆ = x i + ˆ j
r2 1 2 r1 0
( ) j j ∫ Fgdr = ∫ ( x iˆ + 3x ˆ)g( iˆ + ˆ) dx = ∫ ( x
ˆ j dr = i + ˆ dx
1 0
(
)2
+ 3x dx
1
)
x 3 3x 2 1 3 11 = + = + = 3 2 0 3 2 6
r1= (0, 0)
x 1
Diferente camino ⇒ diferente resultado Si escogemos otra parametrización: x = y = et
ˆ ˆ j F = e2t i + 3et ˆr = et i + ˆ j
r2 ln1 2t t r1 −∞
) dr = e ( iˆ + ˆj ) dt j j ∫ Fgdr = ∫ ( e iˆ + 3e ˆ)ge ( iˆ + ˆ) dx = ∫ ( e + 3e ) dt
t
t ln1 3t 2t −∞
(
−∞ < t ≤ ln1
( ln1 ≡ 0) ( e
0
=1
)e3t 3e2t = + 3 2
1
=
0
1 3 11 + = 3 2 6
De hecho, se puede probar que la parametrización no cambia el resultado. (Escogemos la más fácil y no algo como
x = y = sen t 2
0 ≤ t ≤ sen−11
( ))
Sin embargo, nos podemos preguntar para que tipo de fuerzas camino. ⇒ Para F conservativa (esto es si F = ∇φ para alguna φ). [Nos adelantamos y decimos que ∇φ =
∫
r2
r1...
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