Integrales De L Nea Superficie Y Volumen

Integrales de Línea, Superficie y Volumen.
Integral de Línea
Sea F(x,y) una función de x y y definida a lo largo de una región del plano xy que contiene una sección
continua de curva plana C, y sea A y B dos distintos puntos de C. F(x,y) no tiene ninguna relación con
alguna ecuación definida C y no es más que una función cuyo dominio contiene C. Sean la porción
del arco C con puntos extremos A yB divididos en n segmentos adyacentes Δsi cuyas proyecciones
en los ejes x y y son, respectivamente, Δxi, y Δyi, y sean (ξi,ηi) las coordenadas de un punto arbitrario
del segmento Δsi:

Si evaluamos la función dada F(x,y) en cada uno de los puntos (ξi,ηi) y formamos los productos:
𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑥𝑖

𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑦𝑖

𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑠𝑖

Y luego sumamos todas las subdivisiones del arco AB, tenemos tressumas:
𝑛

𝑛

𝑛

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑥𝑖

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑦𝑖

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑠𝑖

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Los límites de esas sumas, como n se vuelve infinito de tal manera que la longitud de cada Δsi, se
aproximan a cero, son conocidos como Integrales de Línea y son escritos, respectivamente:
𝑎) ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 "𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐿𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐹 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥"
𝐶

𝑏) ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 "𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐿𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐹 𝑎 𝑙𝑜𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑦"
𝐶

𝑐) ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠 "𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐿𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐹 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝐶

𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑠"

Si se tiene una función definida dentro de los límites de integración (ambos límites de integración
especifican la porción de C sobre la que f va a ser integrado y la dirección de integración), las
integrales pueden ser escritas como:
𝐵

𝐵

𝑎) ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
𝐴

𝑏) ∫𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝐴

𝐵

𝑐) ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠
𝐴

Es posible, como en la integración ordinaria, interpretar una integral de línea como un área. Si
pensamos la función integrando F(x,y) como la definición de una superficie que se extiende por
encima de alguna región del plano xy, entonces la superficie cilíndrica vertical con el arco AB como
base, o directriz, cortará la superficie Z=F(x,y) en alguna curva tal como semuestra en la siguiente
figura:

Esta curva es claramente el límite superior de la porción ABQP de la superficie cilíndrica que se
encuentra por encima del plano xy, debajo de la superficie Z=F(x,y) y entre los generadores de AP y
BQ. Además, el producto F(ξi,ηi)Δsi es aproximadamente el área de la línea vertical de esta porción
de la superficie que está por encima de la base infinitesimal Δsi. Porlo tanto:
𝑛

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑠𝑖 ≅ Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎 𝐴𝐵𝑃𝑄
𝑖=1

Y en el límite, la integral:
∫ 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 𝐴𝐵𝑃𝑄
𝐶

Así mismo, el producto de -F(ξi,ηi)Δxi es aproximadamente el área de la proyección en el plano xz
de la línea vertical en Δsi; Además:

𝑛

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 )𝛥𝑥𝑖 ≅ "𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎 𝐴𝐵𝑃𝑄 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧"
𝑖=1

∫ 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑎
𝐶

∫ 𝐹(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴𝐵𝑄𝑃 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧
𝐶

En muchos problemas de integrales de línea el camino de la integración consiste en una o más curvas
cerradas simples formando el límite de una región plana R. Dado que la integración de línea puede
ser realizada en cualquiera de las dos direcciones alrededor de una curva cerrada simple, es
importante que seamos capaces de distinguir entre ellos.Esto se hace mediante la adopción del
siguiente criterio:
Definición 1: La dirección positiva de integración alrededor de un límite de la curva cerrada simple
de una región plana R0 es la dirección en la que un observador se movería si atravesó la curva de tal
manera que el área de R estuve siempre a su izquierda.
Extendiendo la integral de línea a tres dimensiones se obtienen las siguientessumas:
𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝜁𝑖 )𝛥𝑥𝑖

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝜁𝑖 )𝛥𝑦𝑖

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝜁𝑖 )𝛥𝑧𝑖

∑ 𝐹(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝜁𝑖 )𝛥𝑠𝑖

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Los límites de esas sumas, como n se vuelve infinito de tal manera que la longitud de cada Δsi, se
aproximan a cero:
∫ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥
𝐶

∫ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦

∫ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧

𝐶

𝐶

∫ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠
𝐶

La integral de línea de un campo vectorial F alrededor de una...