Integrales dobles

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

1. INTEGRALES DOBLES
En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D ⊆
2

→

. La integral

doble tiene diversas aplicaciones tantomecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.

1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA
El nombre de Suma de Riemann se debe al matemático alemán: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866).

Como referencia para la definición de la integral doble, se debe recordar la integral definida deuna función real de variable real, la cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una curva. Sea f una función real definida en [a, b] y sea P una partición del intervalo cerrado [a, b] , donde P = {x0 , x1 , x 2 ,
, xi −1 , xi , , x n −1 , x n }.

Una suma de Riemann de la función f para la partición P , denotada por RP es un número real obtenido como:
Sus contribucionesdestacaron en las áreas de análisis y geometría diferencial, la fisicomatemática y la teoría de funciones de variables complejas. Su nombre también está relacionado con la función zeta. La longitud del subintervalo genérico se calcula de la siguiente manera:

RP = ∑ f ( xi* ) ∆xi
i =1

n

(I.1)

donde: n es el número de subintervalos de la partición P ,
xi* ∈ [ xi −1 ,xi ] y ∆xi

es lalongitud del subintervalo genérico

(también llamado subintervalo i-ésimo). En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo cerrado [a, b] .

∆xi = xi − xi −1

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Significado geométrico de la suma de Riemann Si la función

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positiva ∀x ∈ a, b , entonces la suma de Riemann corresponde a un valor aproximado del área de la región comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b .

[ ]

f

es

Figura 1.1 Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función positiva en el intervalo cerrado [a, b ] .

f

En la gráfica a) laregión sombreada es la que está comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b . En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo cerrado [a, b ] .

Decir que la norma de la partición P tiende a cero, P → 0 , es equivalente a decir que el número desubintervalos de la partición P tiende a infinito, n → ∞ .

Si la norma de una partición P, denotada como P , se define como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es
P → 0 , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición

de la Integral Definida.
El símbolo lo introdujo el matemático alemán GottfriedWilhelm von Leibniz (1646, 1716).

∫

DEFINICIÓN: integral definida de

f en [a ,b ]

Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [a, b] . La integral definida de f desde a hasta b , denotada por

∫ f (x )dx , esta dada por:
b a

∫
si el límite existe.

b a

f ( x ) dx = Lím ∑ f ( xi* )∆x
p →0 i =1

n

(I.2)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento deMatemática.

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La
b a

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Donde:

Integral

Definida

∫ f (x )dx

es un número

∫

es el signo de integración, a y b son los límites de
f ( x ) es el

real que puede interpretarse como el área bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x y entre las rectas x = a y x = b , si la función es positiva.

integración...