Integrales Por Fracciones Parciales

Integrales por Fracciones Parciales.

Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de
polinomios).
A manera de ilustración consideremos la siguienteintegral:



Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que
disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:



Posteriormente aplicamos elalgoritmo de la división y obtenemos:

x^2+ x + 3 = (x - 2 ) ( x + 3 ) + 9

Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar,
dividimos en ambos lados entre ( x -2 ):



descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones
"sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.En general si queremos integrar un cociente de polinomios P(x)/Q(x) en el que el grado de P(x)
es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando el
algoritmode la división



Donde r(x) = 0 ó grad r(x) < grad Q(x)

P(x) = Q(x) q(x) + r(x)

Dividiendo entre Q(x), obtenemos:



en donde la integral buscada,



se reduce a calcular laintegral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en
la cual el numerados tiene grado menos que el denominador.
A continuación describiremos varios casos de descomposición defracciones racionales (en
las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una
suma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar.

Primer caso.[Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas]


Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:

Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3)... (x – an)hacemos la siguiente descomposición:



donde A1, A2, A3,... An son constantes reales.
Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:



y por lo tanto:...