integrales racionales

Integrales racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tienemayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
1º Integralesracionales con raíces reales simples
La fracción  puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.Ejemplo




Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores queanulan al denominador.





2º Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción  puede escribirse así:

Ejemplo




Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valoresque anulan al denominador y otro más.







3º Integrales racionales con raíces complejas simples
La fracción  puede escribirse así:

Esta integral se descompone en una detipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.
Ejemplo



Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:








Integrales por cambio de variable
El método deintegración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modoque se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:


Se despeja u y dx, sutituyendo en laintegral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:



Ejemplo









Cambios de variables usuales
1. 
2. 
3. 
4. ...