Integrales

[pic]

Definición Las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y una región T enel espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f.

Integral doble La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Enotras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas.[pic]

Métodos de integración. Funciones constante simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a travésde una región de R2 esto da el área de la región, mientras que si es una región de R3 da el volumen de la región.

Por ejemplo:

[pic]
Uso de simetrías En el caso de un dominio en el queexista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula.
Por ejemploDada [pic] y que
[pic] es el dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.

[pic]
[pic]

Cambio de variables. El cambio de una variable por otra es en un sentidogeométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
1. [pic]

[pic]
[pic]
Coordenadas Polares Se puede notar que el área dela región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se considera ρ = (ρ1 + ρ2) / 2 (el radio medio), el área dela región polar es efectivamente ρΔρΔθ.
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a...