Integrales

Matemáticas I
HOJA 1

Ejercicio 1:
Demostrar que
1

|
0

2

e−x
dx| ≤ ln2.
1+x

Ejercicio 2:
Demostrar que dados a, b > 0, existe c ∈ (a, b) talque
b

x3 ln(1 + x2 ) dx =

a14
(b − a4 )ln(1 + c2 ).
4

Ejercicio 3:
x

Estudiar la derivabilidad de la función F (x) =

f (x) dx, siendo
0


 |t| si t < 1,
t2 si 1 ≤ t < 2,
f (t) =

ln(t) si t ≥ 2.Ejercicio 4:
Si la función f (x) viene definida de forma implícita mediante la ecuación:
f (x)

x=
1

et
dt
t

calcula f (x), en términos de f (x), y (f −1 ) (x).

Ejercicio 5:
Calcular laderivada de las siguientes funciones
x2

a) F (x) =
0

x2

b) G(x) =
x

c) H (x) =

x2

cos(t2 ) dt,
1
dt,
2 − t4
x3 cos(t2 ) dt,

0
1

2
x

1 + t2 dt.

d) H (x) =
x2Ejercicio 6:
Calcular el área de la figura limitada por: la rama derecha de la parábola
y = x2 ,la rama izquierda de la parabola y = (x − 2)2 , y y = 4.

Ejercicio 7:
Hallar las siguientes integralesindefinidas
a)

e2x sin(x) dx.

b)

x4 ln(x2 ) dx.

c)

x2
dx.
4 + x6
Ejercicio 8:

−3x3 − x
.
(x2 + 1)2
Cx + D
Ax + B
+2
.
a) Descomponer f en la forma 2
(x + 1)2
x +1
Sea funa función definida por f (x) =

b) Calcular

f (x) dx.

Ejercicio 9:
x
sin(x)
a) Demostrar que tan( ) =
.
2
1 + cos(x)
(Sugerencia: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) y cos(2x) = 2 cos2 (x) −1).
x
b) Sea u = tan( ), demostrar que
2
cos(x) =

1 − u2
2u
2
, sin(x) =
y dx =
du.
2
2
1+u
1+u
1 + u2

x
c) Usando el cambio de variable u = tan( ), calcular
2
1
dx
1 + sin(x) −cos(x)

y

1
dx.
−4 sin(x) + 3 cos(x)

Ejercicio 10: Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:
∞
ex
dx,
a)
2x
−∞ 1 + e
3
1
b)
dx,
3
0x
3
1
c)
dx,
x3−1

3
∞

√

d)
0
∞

e)
0
2

f)
0

1
dx,
x(x + 1)

xe−2x dx,

1
dx.
x−2

Ejercicio 11: La función Γ(n) de define como
∞

xn−1 e−x dx,

Γ(n) =

n∈I
N.

0

a)...