Integrales

Definición:
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por lasrectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x),cambiado de signo.

Aplicaciones:
Aplicaciones en física
Muchas leyes de la física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con el cálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral.
Por ejemplo, laintegral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:

El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de latierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba.
Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar (empleando análisis no estándar) que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante unperiodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:
.
El resultado de esta integral es:

Otros ejemplos de campos de la física donde se aplican las integrales:
 La energía consumida en un periodo de tiempo es la integralde la potencia durante el tiempo.
 La variación de la carga eléctrica en un condensador durante un periodo de tiempo es la integral de la corriente eléctrica que fluye hacia el condensador durante este tiempo.
 La integración del caudal (metros cúbicos por segundo) que fluye por un conducto proporciona el volumen de fluido que ha pasado por el conducto durante el periodo de integración.Ejercicios:
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.


En segudo lugar se calcula la integral:

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX yel punto de abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.






Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.







BIOGRAFIAS:
ISAAC NEWTON: De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a suCátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su "Analysis per aequationes número terminorum infinitos". Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.
Newton había descubierto los principios de su cálculodiferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.
Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la...