Integrales

Mu00f3dulo IV:
APLICACIONES DE LA DERIVADA
INTEGRAL DE FUNCIONES y APLICACIONES DE
LA INTEGRAL
Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and
Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y
de la vida.
CAPÍTULO 12: Trazado de curvas
12.1 Extremos relativos. 12.2 Extremos absolutos. 12.3 Concavidad. 12.4
Prueba de la segunda derivada.12.5 Asíntotas. 12.6 Repaso. Aplicación
práctica: Bosquejo de la curva de Phillips.
CAPÍTULO 13: Aplicaciones de la diferenciación
13.1 Aplicación de máximos y mínimos. 13.3 Elasticidad de la demanda. 13.5
Repaso. Aplicación práctica: Cantidad económica de pedido.
CAPÍTULO 14: Integración
14.1 La integral indefinida. 14.3 Más fórmulas de integración. 14.4 Técnicas de
integración. 14.5Sumatoria. 14.6 La integral definida. 14.7 El teorema
fundamental
del
cálculo
integral
14.8 Área. 14.9 Área entre curvas. 14.10 Excedente de los consumidores y de
los productores. 14.11 Repaso. Aplicación práctica: Precio de envío.
CAPÍTULO 15: Métodos y aplicaciones de la integración
15.1 Integración por partes. 15.3 Integración por medio de tablas.

Materia: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS II(ANÁLISIS MATEMÁTICO)
Profesor: Mónica Bocco

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APLICACIONES DE LA DERIVADA DE FUNCIONES
TRAZADO DE CURVAS – OPTIMIZACIÓN – VALORES EXTREMOS DE
FUNCIONES

Situación-Problema 1:
Una empresa de MKT estimó que x meses después de la introducción
de un nuevo producto, f (x) familias lo usarán, donde:

f ( x) = −

•
•

10 2 40
x +
x
9
3

0 ≤ x ≤ 12

y

f (x) en miles¿Después de cuántos meses el número de familias que usarán el producto
será máximo?
¿Cuántas familias, como máximo, se puede estimar que usarán el
producto?

Como la función que describe el problema es una función cuadrática con ramas
hacia abajo (¿por qué?) sabemos que el máximo se encontrará en su vértice,
entonces:
xv = 6 meses
Yv = 40.000 familias

Así máximo de f: (6, 40.000)Situación-Problema 2:
El ingreso obtenido por la venta de este nuevo producto la empresa lo
estima que puede obtenerse a partir de la función:
I ( x) =
•
•

800 x
− 3x
x+3

x ≥ 0 e I (x) en miles

¿A qué precio x debe vender el producto para lograr el máximo ingreso?
¿A cuánto ascenderá dicho ingreso si vende al precio calculado?

Para realizar el gráfico de esta función I conocemos comoencontrar:
• Dom I e Img I
• Cortes con los ejes coordenados
• Límites de la función para valores extremos
• Continuidad
• Ptos y valores de Máximos y Mínimos (absolutos y relativos)

Materia: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS II (ANÁLISIS MATEMÁTICO)
Profesor: Mónica Bocco

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Recordemos que para determinar Máximos y Mínimos de y = f (x):
1. Si x es un punto crítico ( f ( x) = 0 ) y f ' ' (x) < 0 entonces ( x, f ( x) ) es
un máximo
2. Si x es un punto crítico ( f ' ( x) = 0 ) y f ' ' ( x) > 0 entonces ( x, f ( x) ) es un
mínimo

Ejemplo:
Determinar, si existen, los máximos y/o mínimos de:

f ( x) = x 6

Puntos Críticos:
Como f ( x) = x 6 entonces f ' ( x) = 6 x 5
Entonces f ' ( x) = 0 implica resolver 6 x 5 = 0 y esta ecuación tiene una única
raíz: x = 0 y que es elpunto crítico de la función.
Máximos y/o Mínimos:
Para determinarlo debemos evaluar el punto crítico en la derivada segunda:
Como f ' ( x) = 6 x 5 entonces f ' ' ( x) = 30 x 4
Entonces calculamos: f ' ' (0) = 30 . 0 4 = 0 con lo cual no podemos determinar si
es un punto de máximo o de mínimo.
Por esto es necesario dar una condición suficiente para determinar los
extremos:
¡¡ IMPORTANTE !!
•Condición Necesaria para que un punto x sea de máximo y/o de mínimo es
que la derivada primera sea nula: f ' ( x) = 0

•

Condición Suficiente para que un punto x sea de:

* máximo es que la primer derivada no nula sea de orden par y negativa:

f ( 2n) ( x) < 0
* mínimo es que la primer derivada no nula sea de orden par y positiva:

f ( 2n) ( x) > 0

Materia: HERRAMIENTAS...