Integrales

1. Integral Definida
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decircuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.


La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
alímite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Ejemplos


















2. Integral bajo la curva




La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. Elárea bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más grande y mejor la aproximación al valor del área.

La Integral como Límite del Área

Laaproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando rectángulos de aproximación mas estrechos. La idea de la integral es incrementar el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho del rectángulo tiende a cero.

Aunque el concepto de área geométrica es una forma conveniente de visualizar una integral, la idea de la integración es muchomas general. Cualquier variable física continua puede ser "troceada" en incrementos infinitesimales (elementos diferenciales) de modo que, la suma del producto de ese "ancho" por el valor de la función se acerca a una suma infinita. La integral es una herramienta poderosa para modelar problemas físicos que impliquen cantidades que varíen continuamente.

Ejemplos de Integral de Área
Los ejemplosde área de geometrías simples, pueden reforzar la idea de la integral como el área bajo una curva. Para una función que es una constante a, el área formada por la función es exactamente un rectángulo.

Aquí la conclusión general es que la integral de una constante es exactamente la constante multiplicada por la variable de integración x.
En una función f(x) = ax, el área es un triánguloLa progresión nos lleva a la forma general de la integral como un polinomio de x:


3. Integración Por Partes

Concepto
Este tipo de integrales se identifica cuando no es posible localizar una sustitución adecuada u para el cual du corresponda con la estructura supuesta. Bajo estas condiciones es necesario identificar entre los diferentes factores que componen el integrando un conjuntoque se identificará como u, mientras el resto de los factores incluyendo al diferencial se denomina como dv. Con las partes identificadas se resuelve que en lo general deberá ser una estructura mucho más simple que la de la integral original. De igual manera, con u seleccionada se calcula du y se estructura el término derecho de la igualdad del teorema. Ahora la integral debe ser unaintegral más simple que la integral original, desde luego que puede ocurrir que esta integral también sea por partes.

Fórmula
El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.




Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones...