integrales

CAP´TULO
I

1
La integral

1.5 Sumas de Riemann. Definicion de la integral
´
En esta secci´ n precisaremos algunas ideas expuestas previamente, con respecto al problema de encontrar
o
el area bajo la gr´ fica de una funci´ n, para lo cual consideramos una funci´ n y D f .x/ continua y no
´
a
o
o
negativa, en un intervalo cerrado Œa; b.
y
y D f .x/

x
a

b

o
Una partici´ ndel intervalo Œa; b es un conjunto de puntos P D f x0; x1 ; x2; : : : ; xn g, que cumplen con
a D x0 < x1 < x2 < : : : < xn D b
de tal manera que el intervalo original puede descomponerse en una uni´ n de n subintervalos que no se
o
traslapan:
Œa; b D Œx0; x1  [ Œx1 ; x2 [ Œx2 ; x3 [


[ Œxn
21/ 1/ 2014

1

1 ; xn :

2

C´ lculo integral
a

Note que n es el numero desubintervalos en que se parte el intervalo original. El ancho de cada subinter´
valo, que denotaremos xk , es la diferencia formada por su extremo derecho menos el izquierdo, as´:
ı
x1 D x1
x2 D x2
:
:
:
xn D xn

x0 ;
x1 ;

xn

1:

En general,
xk D xk

xk

1

para k D 1; 2; 3; : : : ; n:

Con mucha frecuencia las particiones de un intervalo que tomaremos en losejemplos son de tal forma que
los puntos consecutivos est´ n igualmente espaciados (aunque no se requiere forzosamente que sea as´), es
a
ı
decir, est´ n dispuestos de tal forma que
a
x1 D x2 D


D xn ;
y en ese caso no ser´ necesario distinguir los xk con un sub´ndice y escribimos simplemente x para
a
ı
indicar el ancho de cualquier subintervalo; si hay n subintervalos igualmenteespaciados entonces es claro
que cada uno tiene ancho
x D

b

a
n

:

Tambi´ n podemos decir en este caso que tendremos
e
x0 D a; x1 D a C x; x2 D a C 2x; : : : ; xk D a C kx; : : : ; xn D a C nx D b:
As´ por ejemplo, para partir el intervalo Œ1; 10 en n D 12 subintervalos iguales, tenemos que
ı
x D

10 1
9
3
D
D D 0:75;
12
12
4

y con esto se definen las xi
x0 D 1;x1 D 1:75; x2 D 2:5;
x3 D 3:25; x4 D 4;
x5 D 4:75; x6 D 5:5;
x7 D 6:25; x8 D 7;
x9 D 7:75; x10 D 8:5;
x11 D 9:25; x12 D 10:
Para una partici´ n P D f a D x0 < x1 < x2 : : : < xn D b g del intervalo Œa; b denotemos para cada
o

i D 1; 2; : : : ; n,

mi D m´nimo de f .x/ en el subintervalo Œxi 1; xi 
ı
Mi D m´ ximo de f .x/ en el subintervalo Œxi 1; xi 
a

xi D un punto delsubintervalo Œxi 1 ; xi  escogido arbitrariamente.

1.5 Sumas de Riemann. Definici´ n de la integral
o

3

y

y D f .x/
M1

f .xi /

m1

xi

a

1


xi

x

xi

b

xi > 0

Entonces es claro que
mi  f .xi /  Mi ; para i D 1; 2; : : : ; n:
Observando que el ancho de cada subintervalo xi > 0 podemos ver que
mi xi  f .xi /xi  Mi xi ; para i D 1; 2; : : : ;n:
Tambi´ n, si sumamos las anteriores desigualdades, v´ lidas para cada subintervalo Œxi
e
a
hasta i D n, obtenemos

1 ; xi 

desde i D 1



m1 x1 C


C mn xn  f .x1 /x1 C


C f .xn /xn  M1 x1 C


C Mn xn

(1.1)

Sumas de Riemann
Utilizando la notaci´ n
o
concisa como sigue:

para sumas podemos escribir esta doble desigualdad de manera m´ s compacta y
an

i D1

n

mi xi 

i D1

n

f .xi /xi 

(1.2)

Mi xi :
i D1

y
y D f .x/

x

a


x4 x4


x5 x5

D

D

x0 x  x1 x  x2 x  x3
1
2
3

b

En estas desigualdades podemos reconocer en los extremos izquierdo y derecho la suma de areas de los
´
rect´ ngulos inferiores y superiores, respectivamente como se discuti´ en la secci´ n anterior, por loque
a
o
o

4

C´ lculo integral
a

tambi´ n se puede afirmar que se cumplen las siguientes desigualdades:
e
n

n

i D1

mi xi  A.R/ 

Mi xi :

(1.3)

i D1

Las desigualdades (1.2) y (1.3) son similares, pero no necesariamente podemos concluir del parecido entre
ellas que
n

f .xi /xi ;

A.R/ D

i D1

n
i D1

sino solamente que A.R/ es aproximada por...