Integrales

2.3.2 Con cambio de Variables

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un métodopreciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.
Si en lugar de x setuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena.
Ejemplo:
1.



2.



3.

4.




5.



2.3.4 Por partes

El método de integración por partes permite calcular laintegral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno ycoseno, se eligen como v'.

Ejemplo #1
Encuentre la primitiva de


Hacemos  y . Entonces u, v, du y dv son,




Usando la ecuación de integración por partes,


Este nuevo integral esfácil de evaluar.


Ejemplo # 2
Encontrar:


Hacemos  y 

Entonces u, v, du y dv son:






Ahora tenemos:



Y nuevamente hacemos:






Para obtener:Ejemplo #3
Encontrar:


Haciendo:





y sabiendo que 

Obtenemos:




Nuevamente hacemos para:









Sustituir y operar:






 = 







Ejemplo #4Encontrar:

Haciendo:




y sabiendo que 

Obtenemos:






Ejemplo #5
Encontrar:

Haciendo:




y sabiendo que 
Obtenemos:




2.3.4 Trigonométricas.
Una integral se denominatrigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución –desde luego que son válidos los teoremas de integración–, pero sobre todose deben tener siempre presentes los i. a vi.
i. T5.11 (sen u)’=cos u u’
ii. T5.12 (cos u)’= –sen u u’
iii. T5.13 (tan u)’= sec2
u u’
iv. T5.14 (ctg u)’= –csc
2
u u’
v. T5.15 (sec u)’=...