Integrales

CAP´ITULO VII.
´
INTEGRACION
INDEFINIDA

SECCIONES
A. Integrales inmediatas.
B. Integraci´on por sustituci´on.
C. Integraci´on por partes.
D. Integraci´on por fracciones simples.
E. Aplicaciones de la integral indefinida.
F. Ejercicios propuestos.

267

A. INTEGRALES INMEDIATAS.

Se dice que una funci´on y = F (x) es integral indefinida (tambi´en llamada
primitiva oantiderivada) de otra funci´on y = f (x) cuando F (x) = f (x). La
notaci´on usual para representar este hecho es la siguiente:
F (x) =

f (x)dx.

El t´ermino ”dx”indica que la variable respecto a la cual se est´a integrando
es ”x”.
Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea la
funci´on original. Se tratar´a entonces de aplicar las reglas de derivaci´on en
sentidoinverso, donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentren
las propias funciones.
Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada funci´on s´olo tiene
una derivada, tiene infinitas integrales, porque si F (x) = f (x), entonces
[F (x) + C] = f (x) para cualquier constante C.
Esto se indicar´a escribiendo f (x)dx = F (x) + C. De este modo, todas las
primitivas de una funci´on seobtienen sumando una constante arbitraria a
una primitiva particular. Las siguientes propiedades permitir´an descomponer integrales en otras m´as sencillas:
i)

f (x)dx = f (x) + C.

ii) [f (x) ± g(x)]dx =
iii)

kf (x)dx = k

f (x)dx ±

g(x)dx.

f (x)dx, k ∈ R.

De las f´ormulas de derivaci´on se obtiene la siguiente tabla de integrales
inmediatas, sin m´as que cambiar el ordende las f´ormulas.
xn+1
+ C si n = −1.
n+1

1)

xn dx =

2)

sen xdx = − cos x + C.

3)

cos xdx = sen x + C.

4)

sec2 xdx = tg x + C.

5)

sec x tg xdx = sec x + C.

6)

cosec x cotg xdx = − cosec x + C.

7)

cosec2 xdx = − cotg x + C.
268

1
dx = arc sen x + C.
1 − x2

8)

√

9)

1
dx = arc tg x + C.
1 + x2

10)

1
√
dx = arcsec x + C.
x x2 −1

11)

1
dx = ln |x| + C.
x

ax
+ C.
ln a
Veremos a continuaci´on algunos casos de aplicaci´on de las f´ormulas anteriores.
12)

ax dx =

PROBLEMA 7.1.

Resolver la integral

(4x3 − 5x2 + 7)dx.

Soluci´
on

Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otras
integrales m´as simples.
I=4

x3 dx − 5

x2 dx + 7

dx.

Aplicando la regla(1) se pueden resolver las integrales que resultan:
I=
Ten en cuenta que

4x4 5x3
5x3
−
+ 7x + C = x4 −
+ 7x + C.
4
3
3
dx =

x0 dx = x1 /1 + C = x + C.

Aunque se deber´ıa sumar una constante a cada integral, como esa constante
es arbitraria, se a˜
nade al resultado final una constante, que ser´ıa la suma de
cada una de las restantes.

PROBLEMA 7.2.

Resolver

1
dx.
x2269

Soluci´
on

Escribimos 1/x2 como x−2 y tenemos:
I=

x−2 dx =

x−1
1
+ C = − + C.
−1
x

PROBLEMA 7.3.
√
3

Resolver

zdz .

Soluci´
on

Si escribimos el integrando en forma de potencia:
I=

z 1/3 dz =

3
z 4/3
+ C = z 4/3 + C.
4/3
4

PROBLEMA 7.4.

Resolver

√
(1 − x) xdx.

Soluci´
on

Si separamos en dos integrales, resulta:
I=

√

xdx −√
x xdx =

x1/2 dx −

PROBLEMA 7.5.

Resolver

√

x−

x
2
+√
2
x

dx.

270

2
2
x3/2 dx = x3/2 − x5/2 + C.
3
5

Soluci´
on
Si escribimos el integrando en forma de potencia, tenemos:
x1/2 dx −

I=

1
2

xdx + 2

2
1
x−1/2 dx = x3/2 − x2 + 4x1/2 + C.
3
4

PROBLEMA 7.6.

Resolver

(3s + 4)2 ds.

Soluci´
on

Desarrollando la potencia,
I =
=9

(9s2 + 24s + 16)ds =

9s2 ds +

24sds +

16ds

s2
s3
+ 24 + 16s + C = 3s3 + 12s2 + 16s + C.
3
2

PROBLEMA 7.7.

Resolver

4x3 − 5x2 + 7
dx.
x2

Soluci´
on

Si dividimos cada sumando por el denominador com´
un, podemos obtener
una suma de t´erminos y descomponer en suma de integrales:
7
dx = 4 xdx − 5 dx + 7
x2
x2
x−1
7
+ C = 2x2 − 5x − + C.
= 4 − 5x + 7
2...