Integrales

Apuntes de Matemáticas para 1o de Ciencias Químicas
Universidad de Cádiz. Departamento de Matemáticas1

1

Prof: Jesús Beato Sirvent

2

Índice general
I Álgebra Lineal
1. Espacios Vectoriales
1.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Prontuario . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
13
13 16 19 21

2. Diagonalización real de matrices

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II Números complejos
3. Números complejos
3.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
2727 31

III

Análisis real de funciones de una variable real

35
37
37 39 43 47 47 47 48 48 48 48 49

4. Funciones reales de variable real

4.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Ejercicios . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5.2.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Racionales con raíces reales simples . . . 5.2.4. Racionales con raíces reales múltiples . 5.2.5. Racionales con raíces complejas simples x 5.2.6. Trigonométricas: cambio t = tg . . 2 5.2.7. Trigonométricas: cambio t = tg(x) . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Cálculo de primitivas

43

. . . . . . . . . .

4 5.2.8. Trigonométricas: tipo 5.2.9. Trigonométricas: tipos

ÍNDICE GENERAL

senm (x)cosn (x) dx . . . . . . . . sen(mx)cos(nx) dx;

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sen(mx)sen(nx) dx; cos(mx)cos(nx) dx . . . . . . √ √ √ 2 − b2 x2 ;5.2.10. Irracionales: tipos a a2 + b2 x2 ; a2 x2 − b2 . 5.2.11. Miscelánea de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 50 50

6. Aplicaciones de la integración

6.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Cálculo de áreas, longitudes 6.2.2. Integrales impropias . . . . 6.2.3. Funciones eulerianas . . . .

. . y . .

. . . .. . . . . . . . . . volúmenes . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

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55 58 58 61 65

IV Análisis real de funciones de varias variable real
7. Funciones de varias variables reales
7.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7.2.1. Funciones escalares . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . 7.2.3. Coordenadas rectangulares, cilíndricas y 7.2.4. Límites y continuidad . . . . . . . . . . 8.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . 8.2.2. Derivadas direccionales.Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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69
69 71 71 73 76 78 81 83 83 88 91 92 93

8. Derivadas parciales y direccionales. Gradiente

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9. Diferenciabilidad

9.1. Prontuario . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Planos tangentes y rectas normales . . . . . . . . . . . . . 10.1. Prontuario . . . . . . 10.2. Ejercicios . . . . . . 10.2.1. Derivación de 10.2.2. Derivación de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funciones compuestas . . . . ....