Integrales

Introducción

Las integrales y derivadas guardan entre si una relevante relación. El origen de esta relación es uno de los aportes más importantes en el área de las matemáticas, y su descubrimiento sigue siendo uno de los avances más importantes en la actualidad.
El cálculo integral surgió naturalmente de la necesidad de solucionar el problema de obtener áreas de figuras planas. Para ello seaproximaba la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y de ahí apareció el concepto de integral. Con esta idea surgio el concepto de Integral Definida.
Se le llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a y b son límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x =b.
A continuación, en el siguiente trabajo se presentara una serie de términos para enfocar mas a lo que son las integrales.



Unidad III: Concepto de integral de una función real de una variable real.
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

-Diferenciales
En el campo de la matemática llamado cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definido por la expresión
,
Donde es la derivada de con respecto a , y donde es una variable real adicional (de manera que esuna función de dos variables , y ). La notación es tal que la expresión
,
Donde la derivada es representada en la notación de Leibniz , se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir
,
El significado preciso de las variables y depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideracionesmatemáticas rigurosas modernas, las notaciones y son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, amenudo, se requiere que las variables y sean sumamente pequeñas (infinitesimales).


- Representación geométrica de la diferencial.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemosque la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representaráel alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la fórmulas matemáticas están definidos respectivamente per x y .

- La anti derivada
La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste enencontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si , entonces, , es una antiderivada de . Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si , entonces es otra anti derivada de .
La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: es el integrando; , la variable de...