integrales

¿Para qué se utilizan las integrales?

1. INTRODUCCIÓN
Las primeras preguntas que debe hacerse un estudiante cuando empieza a batallar con integrales son las siguientes:
– ¿Para qué sirven las integrales?a
– ¿Por qué debo aprender a integrar?
– ¿Qué puedo calcular con las integrales?
Es decir, cuestionarse su uso y el porqué de su insistencia durante los años de estudio.
 
2. UN POCO DEHISTORIA
El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (1800 a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numerosos científicos entre los que destacaron Arquímedes, Fermat y Barrow. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII (1665) gracias a la elaboracióndel “Teorema fundamental del cálculo” de mano de dos brillantes matemáticos:  Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Este hallazgo no fue cooperativo, sino individual, hecho que generó vigorosas disputas por la autoría del mismo.
(En realidad Newton es el científico más importante de la humanidad a la fecha. Todo el desarrollo científico e industrial no existiría sin los conocimientos que nos aportó)Newton escribió en el año 1669 sus ideas sobre series y el cálculo en el libro De analysi per aequationes numero terminorum infinitas que, sin embargo, fue publicado
hasta 1711.También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en 1742.
El único libro en que Newton mostró sucálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia mathematica (1687).
Newton usó el cálculo en su estudio de la astronomía y mecánica en esta obra, Una gran parte del libro fue expresada en forma geométrica tradicional para que
sus contenidos fueran mejor aceptados por la comunidad científica de ese tiempo.
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometríaanalítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de unatrayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica deDescartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesianoFinalmente Cauchy, Riemann y Lebesgue formalizaron el sistema actual de cálculo de integrales empleando el uso de límites.
 
3. ¿PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS INTEGRALES?
Básicamente las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución.
Cálculo de áreas
Cálculo de longitudes de curvas
Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución
 
4.EJEMPLO PRÁCTICO DEL USO DE INTEGRALES
 
4.1. Cálculo de áreas por geometría básica
Un coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria de la figura:
 

Figura 1. Velocidad de un móvil respecto al tiempo
 
La integral es el cálculo del área que existe entre la función (la línea naranja) y el eje de abscisas (el eje X) entre dos intervalos cualesquiera(en este caso, de tiempo), siendo el área que queda por encima (del eje X) positiva y por debajo negativa. Para no profundizar en la integración y facilitar la asimilación del concepto, vamos a tomar un intervalo cuya área podamos calcular por geometría básica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0 , 5) segundos:
 

Figura 2. Integración de un intervalo
 
Como se puede comprobar, se forma...