Integrales

Integrales de radicales (Parte II)

intbl.gif (455 bytes)

En este caso la integral siempre puede ser expresada de una de las tres formas:

intbm.gif (2245 bytes)

sin más quehacer el cambio correspondiente y consultar la tabla de integrales.


Ejemplo 22: Hallemos la integral

intbn.gif (291 bytes)

Solución: En primer lugar extraemos el coeficiente de x², o sea el2, del radical con lo que la integral puede realizarse:

intbo.gif (1837 bytes)


intbp.gif (1024 bytes)

Donde pn(x) es un polinomio de grado n. Este tipo de integrales se realiza porel llamado "método germany" (o método alemán) que consiste en expresar la integral en la forma:

intbq.gif (920 bytes)

siendo qn-1(x) un polinomio de grado (n-1) con coeficientes indeterminados,así como l es otro coeficiente a determinar. Una vez determinados estos coeficientes, la integral a realizar es una integral del caso 3.


Ejemplo 23: Hallemos la integral

intbr.gif (278bytes)


Solución: En este caso, el polinomio del numerador es (x²), que es de grado 2, por lo tanto el polinomio qn-1(x) será un polinomio de grado 1: qn-1(x) = A x + B. Entonces:

intbs.gif(748 bytes)

Para determinar los coeficientes A, B y l lo hacemos como en el método de Hermite, es decir, derivando ambos miembros:

intwuv.gif (838 bytes)

a continuación en el miembro de laderecha ponemos denominador común, intbt.gif (171 bytes), y cancelamos estos denominadores:

2 x² = 2 A (x² - x + 1) + 2 Ax² + (2 B - A) x - B + 2l

De aquí podemos sacar el sistema:

intbu.gif(763 bytes)

Por lo tanto:

intbv.gif (738 bytes)

y ahora la integral del segundo término es del caso 3:

intbw.gif (571 bytes), o sea, intbx.gif (368 bytes)

y el resultado final es:intby.gif (883 bytes)


El alumno puede realizar los siguientes ejercicios:

intbz.gif (1103 bytes)


rdcl1.gif (556 bytes)

Para este caso el cambio x ± a = 1/t la transforma en...