Integrales

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC
.

1

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Ejercicios Resueltos

1.1

Calculo de integrales dobles en coordenadas

1.2

rectángulares cartesianas

1.2.1

Problema
ZZ
p
x + ydxdy si D es la región acotada por las respectivas rectas
Calcular
Dy = x; y = x y x = 1
Solución
Se tiene que la región D = (x; y ) 2 IR2 = 0
ZZ

p

x + ydxdy

Z

=

D

2
3

=

2
3

=

0

Z
Z

Z

x

p

=

1; x

x

x + ydydx

1

3 =2

(x + y )
0
1

y

x

3=2

(2x )

x
x

dx

dx

0

25=2 2
5=2
(x )
35
p
82
15

=

Problema
ZZ p
Calcular
x2

1

x

1
0

1.2.2

y 2 dxdy si Des el dominio limitado por el triángulo de

D

vértices A (0; 0) ,B (1; 1); C (1; 1) :
Solución
Entonces se tiene que el dominio está delimitado por las rectas y = x;
y = x y x = 1:
Es decir D = (x; y ) 2 IR2 = 0 x 1; x y x :
Integrando a franjas verticales, resulta

1

ZZ

D

p
x2

y 2 dxdy

Z

Z

p
x2
x
0
Z 1Z x r
x1
=
=

1

x

y 2 dydx
y
x

x

02

dydx

y
Hacemos el cambio de variables = sent =) dy = x cos tdt y
x
determinemos los limites.
x
= arcsen (1) = :
Para y = x =) arcsen
x
2
x
Para y = x =) arcsen
= arcsen ( 1) =
x
2
Por tanto
Z

1
0

Z

x

r

x1
x

y
x

2

dydx =
=
=
=
=
=

Z

Z
Z
Z
2

1
0
1
0
1
0

Z

2

2

Z

2

p
1

sen2 tdtdx

x2 cos2 tdtdx
2

Z2

x2 (
2

1

1 + cos 2t
)dtdx
2

sen2t
t
+
2
4

x2
0

Z

x2

2

dx
2

1

x2 dx
0

x3
23

1

=
0

6

1.2.3

Problema
ZZ
Calcular
x2 + y 2 dxdy si D = (x; y ) 2 IR2 = x2 + y 2
D

1 :Usando

coordenadas cartesianas
Solución.
Usando coordenadas cartesianas, la región de integración es un círculo
centrado en el origen de radio uno
Por lo tantop
p
D = (x; y ) 2 IR2 =
1 x 1;
1 x2 y
1 x2

2

ZZ

2

x +y

2

dxdy

Z

=

D

Z

1
1

Z

p

1 x2

p

(x2 + y 2 )dydx
1

x2

1

p

1 x2

y3
=
(x y + ) p
dx
3
1
1 x2
Z1
p
1p
=2
(x2 1 x2 +
(1 x2 )3 )dx
3
1
Z
Z1
p
2 1p
(1 x2 )3 dx
=2
x2 1 x2 dx +
3
1
1
2

Con ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:
Z

1

x2
1p

1

x2 dx =

(

1
1

p
(1

x2 )3 dx =
=

1p
x2 + (x 1
8

1
(arcsen(1)
8

=

Z

xp
1
4

(

xp
(1
4

1

1
arcsen ( 1) = ( + ) =
82
2
8

x2 )3 +

3
8

1

x2 + arcsenx)

3x p
(1
8

3
x2 ) + arcsenx)
8

1
1

Por lo tanto:
ZZ

x2 + y 2 dxdy =
D

2
23
+
=
8
38
2

Notese que la solución del problema usando coordenadascartesianas es
bastante compleja

1.2.4

Problema

Encontrar el área de la región determinada por las desigualdades: xy 4;
y x; 27y 4x2 :
Solución.
Sabemos que xy = 4 tiene por grá…ca una hipérbola equilátera, y = x es la
recta bisectriz del primer cuadrante y 27y = 4x2 corresponde a una parábola.
Veamos cuale son los puntos de intersección de estas curvas con el proprosito
de con…gurarel dominio de integración
xy = 4
=) x2 = 4 =) x = 2 =) y = 2
y=x

3

27y = 4x2
y=x

2

=) 27x = 4x

)

x=0
24
x=
4

=)

=) y = 0; y =

27
4

4
=) x = 3; y =
ZZ3
Para calcular el área A(R) =
dxdy; podemos escoger una partición del
xy = 4
27y = 4x2

D

dominio de tipo I ó de tipo II.
Consideremos dos subregiones de tipo I
4
DI = (x; y ) 2 IR2 = 2 x 3;
y
x27 4 2
DI = (x; y ) 2 IR2 = 3 x
;x
4 27
Si proyectamos sobre eje x

A(R)

=
=
=
=

ZZ
Z

Z

Z

=
=

2
3

Z

2
3

x

dydx +
4
x

x

y j 4 dx +
x

2

3

+

4 ln x
2

y

x

dxdy +
D1
27=4
3

27=4

3

2

Z

x

ZZ

dxdy
D2

dydx
42
27 x

x

y j 4 x2 dx
27

Z

27=4

x
3
2

x
2

43
x
81

42
x dx
27...