Integrales

INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN.

1. INTRODUCCIÓN

En este capítulo damos el concepto de integral desde el punto de vista teórico formal y, aunque será necesario definirla de forma algo complicada, la integral viene a formalizar y a la vez generalizar un concepto sencillo: el de área. Como ejemplo calcularemos el área de la región del plano limitada por el eje de abscisas y la función y = x2entre los valores x = O y x = 2. La representación gráfica de la superficie es:

Pues bien, para obtener el área de la región descrita, que sabemos vale 8/3, vamos a irle acotando por exceso y por defecto siguiendo el método que a continuación describimos: Elegimos los valores de x0=O, x1=1/2, x2=1, x3=3/2, x4=2, a los cuales corresponde en ordenada, mediante y=x2, y0=0, y1=1/4, y2=1, y3=9/4,y4=4; gráficamente:

Dividimos a continuación el intervalo [O, 2] en bandas según los valores intermedios elegidos:

A cada banda de la región sobre la que queremos calcular el área le hallamos una cota superior y una inferior; así, la primera banda tiene un área S1 comprendida entre:

0 ≤ S1 ≤
la segunda tendrá un área S2:

11 1 = 42 8

11 1 1 = ≤ S2 ≤ 42 8 2
la tercera S3 estarácomprendida entre:

1 19 9 ≤ S3 ≤ = 2 24 8
Análogamente:

19 9 1 = ≤ S4 ≤ 4 = 2 24 8 2
De esta forma, el área S de la región en estudio estará comprendida entre:

1 1 9 1 1 9 + + ≤S≤ + + +2 ⇔ 8 2 8 8 2 8

7 15 ≤S≤ 4 4

Como podemos observar, el resultado obtenido es correcto, pero la diferencia entre el verdadero valor
y los obtenidos en esta primera aproximación son excesivamente grandes.Un método lógico de dis-

minuir estas diferencias es elegir más valores intermedios en abscisa y así lograr una aproximación mayor; en efecto, para valores de x: 0, 1/3, 1/2, 2/3, 1, 4/3, 3/2, 5/3, 7/4, 2, obtenemos unas cotas para S: 2,21 ≤ S ≤ 3,51 que, indudablemente, son una aproximación mejor que la anterior. Si continuamos aumentando indefinidamente los valores elegidos en el eje deabscisa, es claro que podríamos llegar a obtener el verdadero valor en el límite; obsérvese, por tanto, cómo el valor del área de la región elegida la obtendríamos por aproximación en el límite. Estamos ya en condiciones de formalizar este concepto, introducido de forma intuitiva en este apartado.

2. CONCEPTO DE INTEGRAL DE RIEMANN Y RIEMANN-STIELTJES
DEFINICIÓN

Sea [a, b] un intervalo dado. PorPARTICIÓN P de [a, b] entendemos un conjunto finito de puntos x0,x1,…,xn tales:

a=x0≤x1≤…≤xn-1≤xn=b
Al valor d(P)=máx| xj-xj-1 | le denominamos DIÁMETRO de la partición P. j Pues bien, supongamos f(x) acotada en [a, b], intervalo en el que se ha efectuado una partición P; llamemos Mi al extremo superior de f en cada uno de los subintervalos que P determina en [a, b]; a:

U ( P , f ) = ∑ M i( xi − xi −1 )
i =1

n

se le denomina SUMA SUPERIOR correspondiente a la partición P; a:

L( P , f ) = ∑ mi ( xi − xi−1 )
i =1
SUMA INFERIOR, donde

n

mi es el extremo inferior de f en los subintervalos que P determina en [a, b].

En el ejemplo del apartado anterior (Figs. 11.2 y 11.3) Mi toma los valores:

1 9 ,1, ,4 4 4
y m i:

1 9 0, ,1, 4 4
De esta forma:

Lasdefiniciones anteriores se han dado en la hipótesis de realizar una única partición P en [a,b]; realicemos ahora un conjunto R de particiones en dicho conjunto; cada una de ellas determinará una suma superior y una inferior, tenemos entonces:
DEFINICIÓN

Dada f(x) acotada, llamamos INTEGRAL SUPERIOR de dicha función en [a, b]:
b

∫ f ( x ) dx = inf[ U ( P , f )]

PœR

a

e INTEGRAL INFERIORde f(x) en [a, b] a:
b

∫ f ( x ) dx = sup[ L( P , f )]

PœR

a

En general se demuestra que
b

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx
a

b

a

DEFINICIÓN Si f(x) acotada en [a,b] es tal que:
b

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
a

b

a

diremos que dicha es INTEGRABLE RIEMANN en [a,b] y lo denotaremos: fœR[a,b] diremos además que
b

∫ f ( x ) dx
a

es la integral de Riemann de...