Interpolacion Matlab

INTERPOLACIÓN
 En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos

una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos
permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno
en situaciones que no hemos medido directamente.
 La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un

intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.
 La extrapolación consiste en hallarun dato fuera del

intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté
próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es
muy fiable el resultado obtenido.

PLANTEAMIENTO GENERAL
 El problema general de la interpolación se nos

presenta cuando nos dan una función de la cual solo
conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
 y se pidehallar el valor de un punto x (intermedio de

x0 y xn) de esta función.
 Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica

pase por esos puntos y que nos sirva para estimar los
valores deseados.

ELECCIÓN DE LA INTERPOLACIÓN MÁS
ADECUADA
 Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie

de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)
 Deseamosencontrar la expresión analítica de dicha función

para poder estudiarla en otros puntos.
 Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con

cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más
sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los
polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor
grado que pase por los n+1 puntos dados.

ELECCIÓN DE LAINTERPOLACIÓN MÁS
ADECUADA
 La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en

principio de grado n:

y= anxn+............+a1x+ao
 Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas

(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los
coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

 Se le llama polinomiointerpolador correspondiente a esos puntos. Una vez

obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos
puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente
estimaciones aproximadas.

 Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los

n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante
las cuales se puedeexpresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos
técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en
una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange.

INTERPOLACIÓN LINEAL
 La fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una
linea recta. Este método, llamado Interpolación Lineal
 Usando triángulos semejantes, se tiene:
𝑓 𝑥−𝑓 𝑥0
𝑥−𝑥0

=

𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥0
𝑥1 −𝑥0

… (1)

 Que se puede reordenar como:

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 +

𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥0
𝑥1 −𝑥0

𝑥 − 𝑥0 … (2)

 La cuál es la fórmula de interpolación lineal. La notación f1(X) indica que se
trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de
representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término
[f(X1) - f(X2)]/(X1 - X2)es una aproximación de diferencias divididas finitas a la
primera derivada. En general, entre mas pequeño sea el intervalo entre los
puntos, más exacta será la aproximación.

EJEMPLO
 Calcular el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando

interpolación lineal.
 Primero, realize los cálculos interpolando entre ln 1 = 0

y ln 6 = 1.7917595.
 Después repíta el procedimiento, pero usando unintervalo más pequeño desde ln 1 a ln 4 = 1.3862944.
 Nótese que el valor real de ln 2 = 0. 69314718

SOLUCIÓN
 Evaluando la fórmula de interpolación lineal de X = 1 a X = 6 da:

1.79175947 − 0
𝑓 2 =0+
2 − 1 = 0.35835189
6−1
 La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %.
 Ahora realizamos los cálculos usando el intervalo más pequeño

desde X = 1 a X = 4 da:...