interpolacion numerica
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERPOLACION NUMERICA
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado
Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre
1) *Probar que si g interpola a la función f en ݔ , ݔଵ , … , ݔିଵ y h interpola a f en ݔଵ , ݔଶ , … , ݔ ,
entonces a la función ݃ሺ )ݔ
௫బ ି௫
௫ି௫బ
ሺ݃ሺ )ݔെ ݄ሺ ))ݔinterpola a f en ݔ , ݔଵ , … . , ݔିଵ , ݔ ሺnotar
que h y g no necesitan ser polinomios).
Sol:
Sea ܨሺ )ݔൌ ݃ሺ )ݔ
௫బ ି௫
௫ ି௫బ
ሺ݃ሺ )ݔെ ݄ሺ ))ݔen los nodos ݔ , iൌ1,…, n-1 se tiene
݃ሺݔ ) െ ݄ሺݔ ) ൌ ݂ሺݔ ) െ ݂ሺݔ ) ൌ 0, por lo tanto ܨሺݔ ) ൌ ݃ሺݔ ) ൌ ݂ሺݔ ), ݔ ݅ ൌ 1, . . , ݊ െ 1
Con iൌ0
ܨሺݔ ) ൌ ݃ሺݔ )
௫బ ି௫బ௫ ି௫బ
൫݃ሺݔ ) െ ݄ሺݔ )൯ ൌ ݃ሺݔ ) ൌ ݂ሺݔ ).
Con iൌn
௫ ି௫
ܨሺݔ ) ൌ ݃ሺݔ ) ௫బ ି௫ ൫݃ሺݔ ) െ ݄ሺݔ )൯ ൌ ݃ሺݔ ) ሺെ1)൫݃ሺݔ ) െ ݄ሺݔ )൯ ൌ ݄ሺݔ ) ൌ ݂ሺݔ ).
బ
ଷ
ଵ
2) Se sabe que ܪସ ሺ )ݔൌ 4 3ሺ ݔ 1) െ 2ሺ ݔ 1)ଶ ሺ ݔ 1)ଶ ሺ ݔെ 1) െ ሺ ݔ 1)ଶ ሺ ݔെ 1)ଶ
ଶ
ଶ
es el polinomio de interpolación de Hermite de cierta función f ,basado en losdatos
݂ሺെ1), ݂ ᇱ ሺെ1), ݂ሺ1), ݂ ᇱ ሺ1) ݂ ݕᇱᇱ ሺ1).
a) Sin evaluar ܪସ ሺ )ݔni sus derivadas en -1 y 1, completar la tabla de diferencias divididas
con repetición utilizada en la construcción de ܪସ ሺ.)ݔ
-1
4
-1 ݂ሾെ1ሿ
3
1 ݂ሾ1ሿ
݂ሾെ1,1ሿ
-2
1 ݂ሾ1ሿ
݂ሾ1,1ሿ
݂ሾെ1,1,1ሿ
1 ݂ሾ1ሿ
݂ሾ1,1ሿ
݂ሾ1,1,1ሿ
3/2
݂ሾെ1,1,1,1ሿ
-1/2
b) Sin evaluar ܪସ ሺ )ݔni sus derivadas en-1 y 1, determinar los valores de
݂ ᇱ ሺെ1), ݂ሺ1), ݂ ᇱ ሺ1) ݂ ݕᇱᇱ ሺ1).
Sol:
a) Hermite es un método de interpolación en que se involucran las derivadas de la función.
Entonces;
Si xൌ-1
݂ሾെ1ሿൌ 4 y como el -1 se repite 1 vez, la diferencia dividida entre estos 2 primeros
datos dará la primera derivada de la función, es decir;
݂ ᇱ ሾെ1ሿ ൌ ݂ሾെ1, െ1ሿ ൌ 3
Ahora se pueden empezar a hacerrelaciones entre los datos que se dan, y las incógnitas.
Por lo tanto;
ሾିଵ,ଵሿିଷ
ଵି ିଵ
ൌ െ2
ሾଵሿିሾିଵሿ
ଵି ିଵ
ሾିଵ,ଵ,ଵሿାଶ
ଵି ିଵ
ሾଵ,ଵ,ଵሿିଵ
ଶ
ሾଵ,ଵሿାଵ
ଶ
ሾଵሿିସ
ൌ െ1
ൌ
ൌ
ൌ1
ଵ
ଵି ିଵ
ଷ
ଶ
ሾିଵ,ଵ,ଵ,ଵሿିଷ/ଶ
ଶ
݂ሾെ1,1ሿ ൌ െ1
ൌെ
ൌ െ1
݂ሾെ1,1,1ሿ ൌ 1
ଵ
݂ሾ1ሿ ൌ 2
݂ሾെ1,1,1,1ሿ ൌ 1/2
ଶ
݂ሾ1,1,1ሿ ൌ 2
ଶ
݂ሾ1,1ሿ ൌ 1
Entonces al reemplazarlos resultados obtenidos en la tabla, quedara así;
-1
4
1
2
-1
-2
2
1
2
-1
1
1
4
2
3
1
1
3/2
1/2
-1/2
b) Los valores de ݂ ᇱ ሺെ1), ݂ሺ1), ݂ ᇱ ሺ1) ݂ ݕᇱᇱ ሺ1), estan dados por;
݂ሾ1ሿ ൌ 2 ൌ ݂ሺ1)
݂ሾെ1, െ1ሿ ൌ 3 ൌ ݂ ᇱ ሺെ1)
݂ሾ1,1ሿ ൌ 1 ൌ ݂ ᇱ ሺ1)
݂ሾ1,1,1ሿ ൌ 2 ൌ ݂ ᇱᇱ ሺ1)
En la tabla los valores pedidos están en los lugares;
-1
-11
1
1
4
݂ሺെ1) ൌ4
݂ሺ1) ൌ2
݂ሺ1) ൌ2
݂ሺ1) ൌ2
3
-1
݂Ԣሺ1) ൌ1
݂Ԣሺ1) ൌ1
-2
1
݂ԢԢሺ1) ൌ2
3/2
1/2
-1/2
3) Utilizar el método de Hermite para hallar un polinomio Pሺx) de grado 2 que satisfaga: pሺ1)ൌ
0, p' ሺ1) ൌ 7, pሺ2) ൌ 10 .
Sol:
Como existe la derivada del polinomio pሺx), quiere decir que el método a utilizar es el de
Hermite ሺen el caso de que nonos dijeran el método a utilizar), entonces la tabla quedaría de la
forma;
X Pሺx)
0
1
0
1
10
2
7
P [1,2]=10
P [1,1,2]=3
P [1,2]= 10/1
P [1, 1,2]= (10-7)/1 = 3
El polinomio de interpolación quedaría expresado de la forma
P(x)=7(x-1)+3( ݔെ 1)ଶ
P(x)=3 ݔଶ + ݔെ 4
satisface las condiciones de p(1)= 0, p' (1) = 7, p(2) = 10 .
4) Dada una función ݂ ܥ אଷ ( )ܴܫy los nodos ݔ = ܽ െ ݄ଵ , ݔଵ = ܽ, ݔଶ = ܽ + ݄ଶ , con
݄ 0, ݅ = 1,2 y ܽ ,ܴܫ אse pide:
a) Construir el polinomio de interpolación )ݔ(de ݂( )ݔcon los nodos dados.
b) Utilizando )ݔ(obtener la formula
݂ ᇱᇱ (ܽ) ൎ
ଶ
భ ାమ
ቂ
(ାమ )ି()
మ
െ
()ି(ିభ )
భ
ቃ
c) Calcular la expresión de error de la formula anterior....
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