Metodos Interpolacion Analisis Numerico

Interpolación lineal:

Consiste en evaluar el polinomio obtenido para estimar valores de la función entre los dos puntos disponibles.


















En la gráfica se observa que la interpolación lineal da como resultado una recta que se ajusta a dos puntos dados, donde f(a) y f(b) son valores conocidos de f(x) en x=a y x=b. Estos puntos se aproximan a los resultados de laprimera derivada de la función.

Características:

1. Es la base para varios modelos numéricos fundamentales. Al integrar la función, se deduce el modelo de integración llamado regla del trapecio.

2. Por la interpolación lineal se obtiene una recta que se ajusta a dos datos dados; es decir, mediante la ecuación se puede conocer todos los valores de f(x) que correspondan a los valoresde x.

3. Entre más pequeño es el intervalo entre los puntos, más exacto será la aproximación.

Ventajas:

1. La interpolación lineal es rápida y fácil, ya que solamente se hace el cálculo de trayectoria de dos puntos.

2. A pesar que se puede producir errores de cálculo entre intervalos, existe la función de error que puede aproximar “x” a “xn”, que representaría el punto medio entre losdos puntos.

3. Entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.

Desventajas:

1. La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.

2. Si el comportamiento no corresponde al de una línea recta los valores calculados no son correctos.

3. Por interconectar dos puntos en línea recta de un polinomio los resultados no se ajustan conexactitud para calcular el punto medio entre los mismo, por ello es más efectivo el método cuadrático.


 
Interpolación cuadrática:
Consiste en obtener la parábola que determinan tres puntos del plano. Si los puntos tienen abscisas distintas, su ecuación es un polinomio de segundo grado en x.

















Se tiene tres puntos evaluados para una función f(x) que todosal ser unidos contienen un óptimo que ajusta una parábola a los puntos. X0, x1y x2 son los valores de extremo y x3 es el valor de x que corresponde al máximo valor de ajuste.

Características:
1.
2. Se tienen tres puntos los cuales contienen un máximo o un mínimo se puede ajustar la parábola a los puntos, después se puede diferenciar e igualar a cero el resultado y resolver para una estimaciónde la óptima en x.

3. Se genera una función a trozos con los distintos puntos que va hacer continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio cada parte de la función deben pasar por los puntos a evaluar.

4. Si los tres puntos están alineados, “a” (primer término de la función) valdrá0 y tendremos un polinomio de primer grado. Incluso podría pasar que también b fuera 0, yen tal caso el polinomio sería de grado 0. En general, dados n+1 puntos con abscisas distintas, se puede probar que siempre hay un polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.

Ventajas:

1. Cuando a partir de dos puntos (Xi, Yi) dados observamos que no se ajustan a una recta, entonces la interpolación lineal produce grandes errores. Para obviar este problema recurrimos a lainterpolación cuadrática.

2. Por medio de este método se encuentran los valores de los puntos cercanos a un máximo o mínimo proporcionando una buena aproximación a la función f(x).

3. Mientras mayor información para la resolución de la función se tenga, los parámetros tienen menos errores.

Desventajas:

1. Así como el método de la falsa posición, la interpolación cuadrática puedequedarse con sólo un extremo del intervalo convergiendo. Así, la convergencia puede ser lenta.

2. Se deben seleccionar cuidadosamente los puntos que habrán de retenerse en cada iteración e intentos de minimizar la acumulación del error de redondeo.

3. Es fácil comprender que si intentamos hacer interpolación mediante un polinomio de 3º, 4º, entre otros el sistema de ecuaciones correspondiente se...