Métodos numéricos de interpolación

INDICE

INTRODUCCIÓN TEÓRICA 2

INTERPOLACIÓN 2

Método de Lagrange Baricéntrico 2

Método por Spline 4

AJUSTE 8

Método de los Cuadrados Mínimos 8

INTEGRACIÓN 11

Cuadratura de GAUSS. 11

Método de los Trapecios 12

Método de Simpson 13

INFORME DEL TRABAJO PRÁCTICO 14

MEMORIA DESCRIPTIVA 14

Lagrange Baricéntrico: 14

Spline:14

Cuadrados Mínimos: 16

Trapecios 17

Simpson 17

Cuadratura de Gauss: 18

GRÁFICO COMPARATIVO 20

TABLAS COMPARATIVAS 24

CONCLUSIONES 25

BIBLIOGRAFÍA 26

INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Interpolación

Es usual que los ingenieros trabajen con datos extraídos de mediciones, relevamientos o ensayos de laboratorio, los cuales no siempre entregan elvalor necesitado para el problema que se está tratando de resolver con lo cual se necesitan métodos para obtener un valor entre varios puntos dados.

En análisis numérico, la interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretendeencontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

Método de Lagrange Baricéntrico

Se define un polinomio genérico L(x) como:

L(x) = (x − x0) (x − x1) . . . (x − xn)

Y los pesos baricéntricos (wi):

n
wi = ∏ 1 / (xi − xk) ; para todo i = 0; 1; . . . ; n.
k=0
k≠i

Lo que permite escribir cualquier polinomio deLagrange como;

Ln;i (x) = L(x) wi / (x − xi)

Y, en consecuencia, el polinomio interpolante será:

n n
Pn(x) = ∑ (f(xi) L(x) wi) / (x − xi) = L(x) ∑ (f(xi) wi) / (x − xi)
i=0 i=0

Ya que L(x) es constante para todos lostérminos de la sumatoria

Esto es una gran ventaja en dos sentidos. Primero, para evaluar Pn(x) se necesitan sólo O(n) operaciones, lo cual hace mucho más rápido el procedimiento. Y segundo, si se agregara un par de datos xn+1, f(xn+1), sólo se debería hacer lo siguiente:

1) Dividir cada wi por xi − xn+1.

2) Calcular un nuevo wi+1.

En ambos casos, el costo computacional es de n+1operaciones. Es decir, se pude actualizar el polinomio Pn(x) con sólo O(n) operaciones. A esta variante del método de Lagrange se la conoce como método mejorado de Lagrange y tiene la ventaja de que los coeficientes wi no dependen de los datos f(xn+1) ni se necesita ordenar los datos como sí sucede en otros métodos (Newton). Esto permite que se pueda interpolar varias funciones con el mismo polinomio.Suponiendo ahora que se interpola la constante 1 con el polinomio hallado, tenemos:

n n
1 = ∑ 1 Ln;i (x) = L(x) ∑ wi / (x − xi)
i=0 i=0

Ya que Ln,i(x) = 1 cuando x = xi

Si se divide Pn(x) por la expresión anterior, o sea, que se la divide por 1, queda:

nL(x) ∑ f(xi) wi / (x − xi)
i=0
Pn(x) = ____________________
n
L(x) ∑ wi / (x − xi)
i=0

Y simplificando L(x), se obtiene:

n
∑ f(xi) wi / (x − xi)i=0
Pn(x) = _____________________ (Interpolación Baricéntrica De Lagrange)
n
∑ wi / (x − xi)
i=0

Método por Spline

Consiste en interpolar los datos de una tabla mediante segmentos de curvas, en este caso con polinomios de tercer grado,...