Metodos Numericos(Interpolacion Newton)

Instituto Politécnico Nacional

Escuela superior de ingeniería mecánica y eléctrica

Práctica numero 4.Métodos numéricos (newton-raphson, tangente).

Métodos numéricos

Martínez VázquezAlan Alejandro

2MM3

05 de marzo del 2012


Método de la tangente o newton-raphson.
3. Objetivo.
El alumno comprenderá algoritmo, diagrama de flujo, codificación del método de la tangente,newton-raphson así como su uso y aplicaciones.
4. Consideraciones teóricas
El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permiten aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x) = 0.Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula
xj+1 = xj −f(xj)/f0(xj)
.
Por ejemplo, consideremos laecuación
ex = 1/x
.
En este caso es imposible despejar la incógnita, no obstante, si representamos las curvas y = ex, y = 1/x en el intervalo x ∈ [0, 4], es evidente que la ecuación tiene una soluciónen este intervalo.
Para aplicar el método de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:
1. Expresamos la ecuación en la forma f(x) = 0, e identificamos la función
f. En el ejemplo es f(x) = ex−1/x
.
2. Calculamos la derivada f0(x) = ex +1/x2 .
3. Construimos la fórmula de recurrencia
xj+1 = xj –(exj – 1/xj)/(exj + 1x2j )
4. Tomamos una estimación inicial de la solución. En este casopodemos tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones.
Desde el punto de vista práctico, si deseamos aproximar la solución con 6 decimales, podemos detener los cálculos cuandodos aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso, obtendríamos
x0 = 1.0,
x1 = 1−(e1 – 1/1)/(e1 + 1/12)= 0. 53788284,
x2 = x1 –(ex1 – 1/x1)/ ( ex1 + 1/x21)= 0. 56627701,x3 = 0. 56714 258,
x4 = 0. 56714 329,
x5 = 0. 56714 329.
5. Podemos, entonces, tomar como solución x = 0.567143.
Si empleamos la aplicación de resolución numérica de ecuaciones de la...