Interpolacion

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INTERPOLACION
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un muestreo o experimento y pretender construir una función que los ajuste.
Otro problemaestrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluásemos la funciónoriginal, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
En todo caso, se trata, a partir de n puntos distintos xk llamados nodos de obtener una función f que verifique
[pic]
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. Algunas formas de interpolación que se utilizan confrecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica, de la cual la anterior es un caso particular, o la interpolación por medio de splines.

Dentro de las aplicaciones tenemos casos particulares como:

Fotografía [editar]

En el campo de la fotografía y mundo de la imagen digital, la interpolación aplica este mismo patrón para conseguir un tamaño mayor de la imagen inicial,rellenando la información que falta con datos «inventados» a partir de un algoritmo específico.

Existen varios algoritmos, los más famosos:
• Interpolación por aproximación: Es uno de los métodos más antiguos que se basa en obtener el promedio de valores de los 2 pixeles más próximos. La interpolación bilineal es una mejora de la anterior, promediando en este caso 4 pixeles adyacentes.• Interpolación bicúbica: Usada por programas como Adobe Photoshop o Paint Shop Pro es el método de interpolación considerado estándar (promedia 16 pixeles adyacentes). Photoshop además usa algunas variaciones como Interpolación bicúbica enfocada o Interpolación bicúbica suavizada que se basa en aplicar algunos cambios a la imagen final.
• Interpolación en escalera (Stair Interpolation): Sebasa en la interpolación bicúbica con la diferencia que se va interpolando en incrementos de un 10% en cada paso con respecto al anterior.
• Interpolación S-Spline: Este método de interpolación determina el color de un pixel «desconocido» basándose en la totalidad de colores de la imagen, a diferencia que los métodos anteriores.
• Interpolación Lanczos: Disponible de forma gratuita enel excelente visualizador-editor IrfanView, y GIMP 2.3 y posteriores versiones, se basa en la calidad de la imagen y ofrece resultados muy similares al método Mitchell.
• Interpolación Genuine Fractals: Por último, el sistema de interpolación de Genuine Fractals que parece tener también unos resultados bastante aceptables.

Enlaces externos

• Algoritmo de interpolación por aproximación• Algoritmo de interpolación bilineal
• Algoritmo de interpolación bicúbica
• Ejemplos de interpolación en escalera (Stair Interpolation)
• Algoritmo de interpolación S-Spline usada por programas como PhotoZoom o S-Spline.
• Algoritmo de interpolación de Lanczos usada por programas como IrfanView
• Ejemplos de interpolación por GF con Genuine Fractals
• Interpolación de imágenes, eninglés

Antes de intoducirnos en el tema de interpolacion daremo un teorema el cual garantiza la unicidad del polinomio que interpola los puntosñ sim importar el metodo que se aplique.

Teorema: Sea [pic] una lista de puntos en la cual ningún elemento se repite mas de k veces. Se f una función cuyos valores están dados en estos números sobre un intervalo que contiene estos puntos. Existe...
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