Introducción al mundo fractal

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1. INTRODUCCIÓN AL MUNDO FRACTAL

El origen del mundo fractal se encuentra en la inconformidad de ciertos científicos a quedarse de brazos cruzados antes ciertas expresiones algebraicas que no tenían solución, o si la tenían esta era muy escueta e inexacta. Entre estos científicos destaca un nombre propio, Benoit B. Mandelbrot, padre de esta nueva manera de entender la matemática y de usarlapara innumerables fines.

Las formas que se encuentran en el mundo real, carecen de la simplicidad de una línea, un cuadrado o un cubo: poseen una riqueza de detalles, complejidad e irregularidad que no pueden describirse por el modelo de Euclides. Su descripción por medio de métodos tradicionales es insuficiente, lo que ha motivado la búsqueda de nuevas formas de analizar y describir objetos, yasean reales o abstractos.

Es aquí donde entran en juego los fractales, cuerpos que responden a la geometría de la naturaleza y permiten describir muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean dando lugar a teorías coherentes.

Por tanto, el campo de aplicación de la geometría fractal es tan amplio que abarca desde la física, biología, medicina, geografía, mineralogía,química, hasta la generación de imágenes cinematográficas y compresión de imágenes, por citar sólo algunos. A medida que los investigadores de las diferentes disciplinas conocen la geometría fractal, mayores son las aplicaciones de ésta.
* ¿Qué es un fractal?

Los fractales son los objetos matemáticos que en las últimas décadas han ayudado a comprender matemática y razonadamente a lanaturaleza, su geometría, patrones, discontinuidades, etc… De esta última palabra proviene el concepto de fractal, pues significa roto, discontinuo y se asocia directamente con las discontinuidades de las funciones que originaron la matemática fractal ya que no eran comprensibles más que por el redondeo o las aproximaciones inexactas que se hacían de ellas mediante el método tradicional euclidiano.
Lasformas fractales basan su lenguaje en algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos. No tienen una dimensión entera sino fraccionaria.

* Características comunes a todos los fractales
En la obra Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones de Kenneth Falconer se describe el concepto de fractal como la entidad que cumplecon las siguientes propiedades:

* No es posible describir un fractal con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente.
Existían funciones con enormes irregularidades y discontinuidades a las que la geometría euclidiana no podía dar solución. Hasta el posterior desarrollo de la geometría fractal, estas funciones se consideraban anomalías excepcionales sin solución en el rígidopatrón euclídeo. En el mejor de los casos se realizaban aproximaciones mediante métodos tradicionales que cuanto menos resultaban inexactos.

* Posee detalle a todas las escalas de observación
Si fuéramos capaces de hacer un zoom de manera infinita sobre un fractal nos daríamos cuenta de que se trata de un conjunto de trozos infinitamente pequeños, todos ellos réplica de la estructura global.* Los fractales poseen algún tipo de autosemejanza estadística
El concepto de autosemejanza podría definirse brevemente como aquella propiedad que poseen los objetos en los que una parte de ellos presenta una estructura similar al conjunto; la parte contiene al todo. Este objeto autosemejante puede construirse a partir de copias semejantes por trasformaciones geométricas de sí mismo. Enrealidad el fractal en cuestión será un conjunto de estructuras compuesta por la misma figura a distintos tamaños, es decir, una imagen de la función mediante una semejanza contractiva. Sin embargo, sería un error pensar que cualquier estructura que tenga la propiedad de auto-similitud constituye un fractal. Es necesario que exista una relación entre el factor de reducción (factor de escala) y el...
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