Introducción a la lógica

Lógica Introducción
Proposición :
Oración declarativa que es falsa o verdadera
Las proposiciones pueden clasificarse en : simples o compuestas
Por ejemplo una proposición simple sería Luis come arroz y en cambio una compuesta
podría ser Luis come arroz o pollo.
Valor de verdad
Si una proposición es verdadera decimos que su valor de verdad es 1 .Notación V( p ) = 1
Si una proposición esfalsa decimos que su valor de verdad es 0 .Notación V( p ) = 0
Tablas de verdad
Definimos en el conjunto de las proposiciones 5 operaciones básicas llamadas :
Negación , Conjunción , Disyunción , Implicación y doble implicación .
Estas definiciones vienen dadas por las tablas siguientes y nos permiten determinar el
valor de verdad de una proposición compuesta en función de los valores de verdadde las
proposiciones simples que la forman .

Negación

Conjunción

Pp
p
-p
1
0

Disyunción

p

p∧q

p

1
1
0
0

0
1

q
0
1
0
1

0
1
0
0

1
1
0
0

Condicional
p
1
1
0
0

q
0
1
0
1

p∨q

q
0
1
0
1

1
1
0
1

Bicondicional

p→q

p

0
1
1
1

1
1
0
0

q
0
1
0
1

Ejercicio: Realizar la tabla de verdad para cadaproposición:
i)
p→(p∨q)
ii)
p ∧ ( -p ∧ q )
iii)
q ∧ ( -r → p )

p↔q
0
1
1
0

Definiciones
I)

II)

III)

Una proposición es una tautología si y solo si es verdadera para
todas las asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones
componentes
Una proposición es una contradicción si y solo si es falsa para
todas las asignaciones de valores de verdad de susproposiciones
componentes
Una proposición es una contingencia si solo si es verdadera o
falsa según las asignaciones de valores de verdad de sus
proposiciones componentes

Ejercicios
I)

Sea p: Luís sale a dar un paseo y q: La luna está brillando . Escribir en forma
simbólica los siguientes enunciados:
1) Luís no sale a dar un paseo y la luna esta brillando
2) Si la luna esta brillando, Luís salea dar un paseo.
3) Luís sale a dar un paseo pero la luna no está brillando
4) Si Luis no sale a dar un paseo, la luna no está brillando
5) Si Luis sale a dar un paseo y la luna esta brillando , Luis no sale a dar un paseo.

II)

Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados:
1) No es verdad que , sì 2 +2= 4 entonces , 3+3 =5 o 1+1 =2
2) Si 2+2 =4 entonces, no es verdad que2+1 = 5 y 5+5 = 10
3) Si 2+2 = 4 entonces no es verdad que , 3+3 =7 si 1+1 = 2

Definición
Denominamos regla lógica a una implicación tautológica
Las siguientes son algunas reglas lógicas
1) [ ( p→ q) ∧ p ]→ q Modus Ponens ( M.P.)
2) [ ( p→ q ) ∧ −q ] → −p Modus Tollens ( M.T. )
3) p→ p Identidad
4) ( p ∧ q ) → p Simplificación ( Simp.)
5)

p→ ( p∨ q) Adición ( Ad. )

6) [ ( p ∨ q) ∧−p ] → q

Silogismo disyuntivo
( o Modus Tollendo Ponens ) (S.Disy.)

7) [ ( p→ q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p → r ) Silogismo Hipotético ( S. Hip. )
8) [ ( p → q ) ∧ ( r → s) ∧ ( p ∨ r ) ] → ( q∨ s ) Dilema constructivo
9) [ ( p →q ) ∧ ( r → s ) ∧ (−q ∨ − s ) ] → ( −p∨ −r ) Dilema destructivo
Demuestra que la 4) , 5) y 6) lo son

Definición
Decimos que dos proposiciones son equivalentes ( seanotará ≡ ) cuando tienen los mismos
valores de verdad
Llamamos ley lógica a toda equivalencia cierta
Las siguientes son algunas leyes lógicas
1) p ≡ p Identidad
2) p∨ −p ≡ t , t perteneciente a las Tautologías Tercero Excluido
3) − ( p ∨−p ) ≡ c , c perteneciente a las Contradicciones Contradicción
4) −( p∨ q ) ≡ ( − p ∧ −q )
Ley de De Morgan
5) − ( p ∧ q ) ≡ (− p ∨ −q )
Ley de De Morgan6) − ( − p ) ≡ p Doble negación
7) ( p → q ) ≡ ( −p ∨ q ) Definición del Condicional
8) ( p→ q ) ≡ −( p ∧ q ) Definición del condicional
9) − ( p→ q ) ≡ ( p ∧ −q ) Negación del Condicional
10) ( p ↔ q ) ≡ [ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ] Definición de bicondicional
11) ( p ↔ q ) ≡ [ ( p ∧ q ) ∨ ( − p ∧ −q ) ] Definición de bicondicional
12) ( p ∧ p ) ≡ p Idempotencia de la conjunción
13 ) (...