Introducción A Los Procesos Estocásticos

Introducci´n a los o procesos estoc´sticos a

Luis Rinc´n o Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 M´xico DF e

Enero 2012

Pr´logo o
El presente texto contiene material b´sico en temas de procesos estoc´sticos a a a nivel licenciatura, y es producto del mejoramiento continuo de las notas de clase que he utilizado para el curso de ProcesosEstoc´sticos en la Facultad a de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´noma de M´xico. Est´ dirigio e a do a estudiantes de las carreras de Matem´ticas, Actuar´ Matem´ticas a ıa, a Aplicadas y otras carreras cient´ ıficas afines. Una mirada al ´ ındice de temas le dar´ al lector una idea de los temas expuestos y el orden en el que se a presentan. Cada cap´ ıtulo contiene material que puedeconsiderarse como introductorio al tema, y al final de cada uno de ellos se proporcionan algunas referencias para que el lector pueda profundizar en lo que aqu´ se ı presenta. La mayor parte de este trabajo fue elaborado mientras realizaba una estancia sab´tica en la universidad de Nottingham durante el a˜o 2007, y a n agradezco al Prof. Belavkin su amable hospitalidad para llevar a cabo este proyecto, y ala DGAPA-UNAM por el apoyo econ´mico recibido durante o dicha estancia. Adem´s, la publicaci´n de este trabajo ha sido posible graa o cias al apoyo otorgado a trav´s del proyecto PAPIME PE-103111. Agradezco e sinceramente todos estos apoyos recibidos y expreso tambi´n mi agradecie miento al grupo de personas del comit´ editorial de la Facultad de Ciencias e por su ayuda en la publicaci´n de estetrabajo. Finalmente doy las gracias o por todos los comentarios que he recibido por parte de alumnos y profesores para mejorar este material. Hasta donde humanamente me sea posible mantendr´ una versi´n digital actualizada de este libro en la p´gina web e o a http://www.matematicas.unam.mx/lars . Luis Rinc´n o Enero 2012 Ciudad Universitaria, UNAM lars@fciencias.unam.mx

Contenido
1. Ideaspreliminares 1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2. Caminatas aleatorias 7 2.1. Caminatas aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. El problema del jugador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Cadenas de Markov 3.1. Propiedad de Markov . . . . . . .3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ecuaci´n de Chapman-Kolmogorov o 3.4. Comunicaci´n . . . . . . . . . . . . o 3.5. Periodo . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Primeras visitas . . . . . . . . . . . 3.7. Recurrencia y transitoriedad . . . . 3.8. Tiempo medio de recurrencia . . . 3.9. Clases cerradas . . . . . . . . . . . 3.10. N´mero de visitas . . . . . . . . . u 3.11. Recurrenciapositiva y nula . . . . 3.12. Evoluci´n de distribuciones . . . . o 3.13. Distribuciones estacionarias . . . . 3.14. Distribuciones l´ ımite . . . . . . . . 3.15. Cadenas regulares . . . . . . . . . 3.16. Cadenas reversibles . . . . . . . . . 3.17. A. A. Markov . . . . . . . . . . . . iii 27 27 31 39 42 45 47 50 56 57 58 65 69 71 80 86 88 93

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iv

Contenido 3.18. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4. El proceso de Poisson 4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. Definiciones alternativas . . . . . . 4.3. Proceso de Poisson no homog´neo e 4.4. Proceso de Poisson compuesto . . . 4.5....