Introduccion Calculo

Índice • • Introducción pág.2 • Un poco de historia pág.2 • Potencias, logaritmos y su relación pág.4 • Función pág.6 • Función inversa pág.6 • Función exponencial pág.7 • Representación gráfica de la función exponencial pág.8 • Ejemplos de funciones exponenciales pág.9 • Exponenciales expresadas como potencias de e pág.9 • Definición de ex para x real cualquiera pág.10 • Ecuaciones y sistemas deecuaciones exponenciales pág.11 • Función logarítmica pág.12 • Representación gráfica de la función logarítmica pág.12 • Bibliografía pág.13

Introducción El concepto de función es tan extenso y tan general que no es sorprendente encontrar una inmensa variedad de funciones que se presentan en la naturaleza. Lo que sí es sorprendente es que un corto número de funciones especiales rijan unamultitud de fenómenos naturales totalmente diferentes. Estudiaremos aquí algunas de estas funciones, o sea la función exponencial y su inversa, la función logarítmica. Es importante para todo aquel que estudie Matemática, ya sea como una disciplina abstracta o como instrumento en otros dominios científicos, tener un conocimiento práctico y teórico de estas funciones y sus propiedades. Para comprendermás extensamente estas funciones hemos de remontarnos un poco y repasar algunas definiciones, como ser la de exponenciación, logaritmo y función; así como algunas de sus propiedades más relevantes. 1

Un poco de historia El estudio del movimiento fue el problema que más interesó a los científicos del siglo XVII, influidos por los descubrimientos de Kepler y Galileo en relación con los cuerposcelestes. A este gran interés también contribuyeron motivaciones de carácter económico y militar, del mismo modo que en la actualidad. Respecto del primer motivo, los navegantes europeos, en su búsqueda de materias primas y de nuevas relaciones comerciales, se alejaban cada vez más de las costas de las que partían y esto les ocasionaba grandes dificultades para conocer su posición en alta mar yllegar al lugar deseado. Necesitaban saber la latitud y la longitud (coordenadas terrestres); la primera se conseguía por observación directa del Sol o de las estrellas; pero la segunda ofrecía serias dificultades porque no disponían de los medios adecuados para medir correctamente la dirección del movimiento de la Luna, y cometían numerosos errores. Los gobiernos de Europa estaban muy interesados ensolucionar este problema porque se producían cuantiosas pérdidas económicas. Por ello se estimulaban a los científicos a que construyeran tablas de datos cada vez más aproximados. En relación al segundo motivo, las trayectorias de los proyectiles, sus alcances y alturas, el efecto de la velocidad de la boca del arma cobre ellos eran asuntos de sumo interés para los gobernantes, por lo que invertíangrandes sumas de dinero para financiar la búsqueda de soluciones satisfactorias. Del estudio de diversos problemas del movimiento se extrajo la conclusión de que era necesario medir el tiempo con mayor precisión, y se llegó a vincular este problema con el movimiento del péndulo, mecanismo básico para la medida del tiempo. La carencia de instrumentos de medida suficientemente precisos paraconstruir tablas de variables impidió que el estudio de este concepto se abordara antes. Por ejemplo, los griegos, que en otros aspectos tenían un desarrollo matemático admirable (recordemos el libro Los elementos de Euclides que ya en el siglo III a.C. recogía toda la geometría de su tiempo), no llegaron a tener una idea del movimiento lo suficientemente elaborada. De los anteriores estudios, obtuvieronlos matemáticos un concepto fundamental, que fue central en casi todo el trabajo de los dos siglos siguientes: el concepto de función o de relación entre variables. El concepto de función aparece explícitamente en Leibniz(1692), y es utilizado por los Bernoulli desde 1694. Euler(1707−1783) introdujo en 1734 el símbolo f (x). Al concepto general de función algebraica, incluso no expresable por...