INTRODUCCION Ecuaciones

INTRODUCCION
Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de distintos fenómenos. Aparte de la terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecuación lineal
ay” + by’ + cy = g(t)
Veremos que los procedimientos matemáticos para manejar, en un sistema vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuación diferencial de segundoorden surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de la ciencia y la ingeniería.
No olvidemos que la función g es la entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a coque satisface las condiciones iniciales prescritas y(h) = yo, y’(to) =y1.

Ley de HookeSupongamos que, como en la figura 5.l(b), una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. Enconcreto, F = Rs, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, 6ste está caracterizado esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 librasestirará el resorte f de pie.
Segunda ley de Newton Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente.
Como seaprecia en la figura 5.2(b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newtoncon la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos (Fig. 5.3).


Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado
Sidividimos la ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d2x/dt2 +(k/m)x = 0, 0 sea:

donde w2 = klm. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son:

x(O) = o, la cantidad de desplazamiento inicial, y x’(O) = ,B, la velocidad inicial de la masa. Porejemplo, si α > 0, β< 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si α < 0, β = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado IαI unidades arriba de la posición de equilibrio, etcétera.
Solución y ecuación del movimiento Para resolver la ecuación (2) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar m2 + w2 = 0 son losnúmeros complejos mt = wi, m2 = -wi. Así, según (8) de la sección 4.3, la solución general de (2) es

Sistemas con constantes de resorte variables
En el modelo anterior supusimos un mundo ideal, en que las características físicas del resorte no cambian con el tiempo. Sin embargo, en el mundo real es lógico esperar que cuando un sistema resorte y masa ha estado en movimiento durante largo tiempo, el...