Introduccion a las transformaciones lineales

UNIDAD V.- TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1.- INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES
LINEALES.

5.2.- NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION
LIENAEL.

5.3.- LA MATRIZ DE UNAS TRANSFORMACIONES
LINEALES.

5.4.-APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES
LINEALES:

* REFLEXION
* DILATACION
* CONTRACCION
* SATACION

UNIDAD V.- TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1.- INTRODUCCION A LASTRANSFORMACIONES LIENEALES.
Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamarantransformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebralineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Definición de transformación lineal y sus propiedades

Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función  

 Talque:
i.   

  

ii.    

  

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si  

 es una transformación lineal, entonces:  

.
En efecto  

. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que:  

.
Nótese que en realidad solo se usa la propiedadaditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii.  

 es lineal si y solo si  

  , .
iii. Si T lineal, entonces

Inversamente, supongamos que 

 

 

Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:
a).-    

.
b).-   

Nótese que usamos el hecho de que 

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii.  

 es lineal si y solo si

,  

.La demostración se hace por inducción sobre n.
a)      Si  

entonces  

, por la condición  (ii) de T.
b)      Supongamos válido para n. Probemos para  :

Por la condición (i) de T, tenemos que, 

Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

 
Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma comosigue:

Ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación  (ii) de arriba.
Ejemplo 1. 
Sea  

 tal que  

.
Entonces  T es lineal,  ya que 

,
y  por otro lado

. Por lo tanto, vemos que 

.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como  .

Ejemplo 2.
Sea  

  tal que 

, 

Entonces  T es lineal, yaque: 
 .

Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como 

.
Ejemplo 3.
Sea  

  tal que  

 la traza de A, es decir,  

, la suma de los elementos de la diagonal. Entonces  T  es lineal, ya que 

Ejemplo 4.
Sea  

  tal que  
. Entonces T es lineal, ya que

Ejemplo 5.
Sea  

 tal que  

la derivada de 

Entonces  T  eslineal ya que: 

Ejemplo 6.
Sea  

, el espacio vectorial de todas  las funciones continuas en un intervalo cerrado 

 y sea  

 tal que  

  Entonces  T  es lineal ya que:

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
 T (u+v) = T (u) + T(v)
 T (ku) = kT (u) donde k es un escalar....