Introducción A Los Métodos Numéricos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO “METODOS NUMERICOS”

2011

Instituto Tecnológico de Durango

Ingeniería en Sistemas Computacionales.

Introducción a los Métodos Numéricos
Maestra; Rincón Montero Rebeca Idaly

Alumno: Castañeda Vallejo José Félix Núm. Ctrl.: 10040084

Victoria de Durango, Dgo a 02 de septiembre del 2011.

JOSE FELIX CASTAÑEDA VALLEJO 10040084 ISC GRUPO 4Y

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2011

1.1.

Importancia de los métodos numéricos

Gran parte de la tecnología actual depende de la solución de modelos matemáticos, desde la programación de una calculadora científica y el cálculo estructural de un edificio con estructuras de acero, el diseño y simulación de aeronaves y vuelos espaciales. La solución de un modelomatemático relativamente sencillo puede obtenerse de manera analítica. Sin embargo, la mayoría de los modelos matemáticos del mundo real, las soluciones analíticas pueden no existir o ser extremadamente complejos, por lo cual se recurre a métodos numéricos que aproximen las soluciones dentro de ciertos márgenes de tolerancia. El análisis de los métodos numéricos nos permite realizar estimacionestanto de la eficiencia o complejidad de los algoritmos asociados, así como de la confiabilidad de los resultados numéricos obtenidos durante su aplicación. Entre las disciplinas que hacen uso intensivo de los métodos numéricos.

1.2.

Conceptos básico

El estudio y aplicación de los métodos numéricos se basa en forma esencial en la representación y manipulación de los números reales en unacomputadora digital. Ya que la memoria de una computadora es finita, esta solo puede representar números racionales. La estrategia para hacer funcional y eficiente la aproximación de los números reales por números de maquina en binario se presenta en el estándar IEEE 754 1.2.1. Cifras significativas La noción intuitiva de cifras significativas de un número está directamente relacionada con laprecisión de los instrumentos o procesos que lo generan. Definición 1.2.1 (Cifras significativas). El numero de cifras significativas de un numero x corresponde al número de cifras en la mantisa de su representación en notación científica. Ejemplo 1.2.1. Ya que 0.00123 = 1.23·10−3, decimos que 0.00123 tiene tres Cifras significativas. Definición 1.2.2 (Aproximación con t cifras significativas). Sean xvy xc los valores verdadero y calculado de una cierta cantidad, con xv 6= xc. Decimos que xc aproxima a xv con t cifras significativas si t es el mayor entero no negativo para el cual

Para el caso xv = xc, xc aproxima xv con las cifras significativas propias.

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2011Como se observa, no es necesario que coincidan los dígitos de las cifras significativas. 1.2.2. Precisión y exactitud El estudio e implementación en computadora de los métodos numéricos requiere de un cuidado especial en el manejo de los números., de forma que los resultados que entregue un programa sean confiables. Para hablar de dicha confiabilidad distinguiremos entre los términos precisión yexactitud. Aunque en las aplicaciones es necesario conocer la precisión de los datos de entrada (a un algoritmo), que pueden depender directamente de los instrumentos utilizados, nos concentraremos aquí en la precisión de la representación de un numero en la memoria de la computadora, lo cual está relacionado con la siguiente representación de números reales. Definición 1.2.3 (números de puntoflotante). Decimos que un numero x está representado como numero de punto flotante si se expresa como

Donde p es el número de dígitos en la mantisa o significando, β es la base y Ҽ Es el exponente entero. Además, cuando d0 ≠0 decimos que está en su forma Normalizada. Ejemplo 1.2.4. El número 314.159 en representación de punto flotante es 0.314159 × 103 y como punto flotante normalizado 3.14159 ×...