Investigacion de integrales impropias

INTRODUCCIÓN
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puedeexistir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
Al estudiar las series infinitas, uno de los primeros criterios de convergencia que se presentan es el Criterio de la Integral. Su planteo tradicional dice, a grandes rasgos, que si ƒ es una función continua, positiva y decreciente en, [1, ∞] entonces laintegral impropia converge si y sólo si la serie
En este veremos que las hipótesis de continuidad y positividad son innecesarias. Con sólo suponer que ƒ sea decreciente ya se puede demostrar la equivalencia entre las convergencias de la integral y de la serie. Y hay más: resulta que ni siquiera es necesario que ƒ sea decreciente. Veremos que hay una condición aún más débil quesigue siendo suficiente en el Criterio de la Integral, pero reservamos los detalles para la última sección.

OBJETIVOS
* El alumno identificará el concepto de integral impropia
* Desarrollar habilidades y destrezas que le permitan interpretar, comprender, plantear y resolver problemas.
* Aplicar los principios del método matemático en la solución de problemas de la física,electrónica y de la vida diaria.
* Determinará si una integral es impropia y la clasificará
* Evaluará si una integral impropia es convergente o si es divergente.
* Calculará integrales impropias con las funciones especiales.
* Conceptualizar la antiderivada y calcular integrales indefinidas mediante las técnicas de integración.
* Aplicar el concepto de integración definida endiferentes campos del conocimiento.
* Reconocer y diferenciar las diferentes series, estableciendo sus intervalos de convergencia.
* Calcular integrales impropias.

INTEGRAL IMPROPIA
DEFINICIÓN:
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞.
“Si lafunción f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo ellímite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas “integrales impropias”, es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral puede interpretarse como: Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio, interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, eluso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior, no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que, esta es una “verdadera” integral impropia.

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizarlímites. Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que “ocultar” el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea...