Investigacion de operaciones

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Investigaci´n de operaciones, modelos o matem´ticos y optimizaci´n a o
Guillermo Dur´n a
Centro de Gesti´n de Operaciones o Departamento de Ingenier´ Industrial ıa Universidad de Chile

Seminario JUNAEB-DII Enero de 2006

¿Qu´ es la Investigaci´n de Operaciones? e o

Una definici´n que se acerca mucho a la realidad ser´ “la o ıa ciencia de la toma de decisiones”. Conviven en estadisciplina profesionales de las m´s diversas ramas: ingenieros, a matem´ticos, computadores, economistas. Todos ellos deben a aprender una t´cnica fundamental: el modelamiento e matem´tico. a

Un problema de producci´n o

Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir el pr´ximo d´ para maximizar su ganancia. o ıa Cuenta con 38m2 de madera y dispone de 7, 5 hs/hombre.Se requiere de 4m2 y 1 hora/hombre para confeccionar cada silla; y de 9, 5m2 de madera y 1 hora/hombre para confeccionar cada mesa. Se asume que se vende todo lo que se produce y que el beneficio por silla es de $4, mientras que el beneficio por mesa es de $8, 5. ¿Cu´ntas sillas y mesas debe producir? a

¿Qu´ significa hacer un modelo matem´tico? e a

Hacer un modelo matem´tico es interpretar lomejor posible la a realidad a trav´s de ciertas f´rmulas. e o Por ejemplo, en el problema de producci´n planteado, o podemos definir una variable x1 , que medir´ el n´mero de a u sillas, y una variable x2 , que medir´ el n´mero de mesas. a u Veamos como relacionar estas variables para cumplir con las condiciones del problema.

El modelo de las sillas y las mesas

¿C´mo decimos en f´rmulasmatem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de metros cuadrados que podemos usar es 38? u 4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38 ¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5? u x1 + x2 ≤ 7, 5

El modelo de las sillas y las mesas

¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de metros cuadrados que podemos usar es 38? u 4 ∗ x1 +9, 5 ∗ x2 ≤ 38 ¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5? u x1 + x2 ≤ 7, 5

El modelo de las sillas y las mesas

¿Cu´l es la funci´n de utilidad que tenemos que maximizar? a o m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Por ultimo, el n´mero de sillas y de mesas debe ser positivo: ´ u x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

El modelo de las sillas y las mesas

¿Cu´les la funci´n de utilidad que tenemos que maximizar? a o m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Por ultimo, el n´mero de sillas y de mesas debe ser positivo: ´ u x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Resumiendo: tenemos un modelo de programaci´n lineal o

m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Sujeto a: 4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38 x1 + x2 ≤ 7, 5 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Gr´ficamente... a

7,5

4
(6,05;1,45)

0

7,5

9,5

Algo anda mal...No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!! ¿Qu´ le falta al modelo? e Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .

Algo anda mal...

No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!! ¿Qu´ le falta al modelo? e Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .

Algo anda mal...

No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!! ¿Qu´ le faltaal modelo? e Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .

Tenemos entonces un modelo de programaci´n lineal o entera

m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Sujeto a: 4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38 x1 + x2 ≤ 7, 5 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1 y x2 son enteras.

Veamos entonces la nueva soluci´n... o

7,5

4 (0;4)

0

7,5

9,5

El problema de los 4 colores

Pintar un mapa es asignarlescolores a sus regiones de modo que 2 regiones lim´ ıtrofes (con al menos un borde en com´n) u tengan diferente color. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3 colores. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4 colores.

El problema de los 4 colores

Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo que 2 regiones lim´ ıtrofes (con al menos un borde en...
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