Investigacion

Que es una sucesión?

Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... quesirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.

Que es una serie?

Se llama serie numérica infinita laexpresión

S = u1 + u2 + u3 + … + un + …,

la cual puede escribirse también, en abreviatura, como Σ un, es decir, ‘sigma u sub ene’, que quiere decir: la suma de todos los términos ‘un’, desde n =1 hasta n = ∞.

La suma de tan solo los n primeros términos de una serie numérica se designa por Sn y se llama “suma enésima parcial”. La serie infinita S se considera que es convergente si Sntiende a límite finito cuando n crece indefinidamente, es decir, si lím Sn = S cuando n tiende a ∞. Ese número S se llama suma de la serie. Si, en cambio, Sn no tiende a un límite finito cuando n tiende a∞, se dice que la serie es divergente, o que su suma es infinita.

Que significa sacar el límite de una sucesión?

Una sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez máspróximos a una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión. Una característica de esta cantidad es, que los términos de la sucesión nunca llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ellatanto como queramos.

Ejemplo de una serie:

Consideremos el sencillo ejemplo de la llamada serie geométrica de razón r < 1:

S = a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^k + … (*)

[Ejemplo: 2 + 2/3 +2/9 + 2/27 + ... + 2/3^k + … ]

Como hizo en su tiempo Jakob Bernoulli, multipliquemos por r esa serie (*):

S.r = ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^(k+1) + …

Restando de (*) esta última expresión,tenemos

S(1-r) = a, de donde resulta

S = a/(1-r),

ecuación que nos proporciona la suma de la serie siempre y cuando, repito, sea r < 1, pues si no la S sería ∞.

[En el ejemplo anterior,...