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Sucesión matemática

Representación de una función (trazo continuo) y una sucesión (puntos rojos)

Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual paralas variables reales.

Por convención, se escribe un (en vez de u(n)), la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).

Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.

También asociado a una sucesión está el concepto de convergencia.

Límite de una sucesión

El límite deuna sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmentetodos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definidola sucesión.

Definición de Series infinitas:

Si {an}es una sucesión infinita,entoces:

ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…

se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ se llaman los términos de la serie.

Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:

S1= a1

S2= a1 + a2

S3= a1 + a2 + a3Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….

Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:

Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :

Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an

Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos

S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..

Si{Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.

Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales

de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos en sucesiones.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtienesumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.

an = a1 + (n - 1) d.

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondenciasunívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.

Suma de los términos de una progresión aritmética

Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética, denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, etcétera, son equidistantes, de manera quetodos estos pares suman una misma cantidad.

Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a:

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros m términos, llamados medios diferenciales, de manera que todos ellos integren una nueva...
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