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Teoría de la medida

Una medida aplica ciertos subconjuntos(pertenecientes a una σ-álgebra) en valores del intervalo [0, ∞].
La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga lasσ-álgebras, las medidas, funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad y en estadística.
En matemática, una medida es una función que asigna un número real positivo ocero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante para el análisis matemático, lageometría y parala teoría de la probabilidad.
A menudo, el ambicioso objetivo de asignar una medida a todo subconjunto del conjunto base se revela inalcanzable. Solo será posible, o interesante en algunos casos,asignar medida a ciertas familias de subconjuntos, a los que llamaremos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el conceptoauxiliar de σ-álgebra.

Definiciones formales[editar]
Formalmente, una medida μ es una función definida en una σ-álgebra Σ sobre un conjunto X con valores en el intervalo real extendido [0, ∞], queverifica:
• La medida del conjunto vacío es cero: μ( ) = 0.
• Si E1, E2, E3, ... una sucesión contable de conjuntos disjuntos dos a dos de la σ-álgebra Σ y E es su unión, entonces μ(E) es igual a lasuma de las medidas de losEk; esto es,

La terna (X, Σ, μ) se denomina espacio de medida, y los elementos de Σ se denominan conjuntos medibles.
Propiedades[editar]
Varias propiedades puedendeducirse directamente de la definición.
Monotonía[editar]
μ es monótona: si y son dos conjunto medibles, con , entonces .
Uniones contables[editar]
Si E1, E2, E3, ... es una sucesión contable deconjuntos medibles, su unión será también medible (por la definición de σ-álgebra), y

Si se tiene además que En ⊆ En+1 para todo n, entonces

Intersecciones contables[editar]
Si E1, E2, E3,...