Inyectiva

FUNCION INYECTIVA

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es imagen de exactamente un único elemento del dominio. Es decir, a cada elemento del conjunto x le corresponde un solovalor de y, tal que, en el conjunto x no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen

∀x1,x2∈A,x1≠x2→fx1≠fx2

Ejemplo

Sean los conjuntos A=a, b, c y B=5, 6, 7 8

Se definen lassiguientes funciones:

1.
A B
a

b

c
5

6

7

8

f

La función f es inyectiva ya que a elementos diferentes les corresponden imágenes diferentes.

2.A B
a

b

c
5

6

7

8

g

La función g no es inyectiva ya que a elementos diferentes a, b, no les corresponden imágenes diferentes.

Para demostrar que unafunción es inyectiva se parte del principio:

fx1=fx2

PASOS PARA DEMOSTRAR INYECTIVIDAD

* Probar que f1 y f2 son inyectivas
* Calcular el recorrido de f1 y f2
* Intersecar losrecorridos
Si Rf1∩Rf2=∅ f(x) es inyectiva
Si Rf1∩Rf2≠∅ fx no es inyectiva

EJERCICIOS

1. fx=2x-3
fx1=fx2
2x1-3=2x2-3
2x1=2x2
x1=x2

∴fx es inyectiva

2. fx=x+3x+4fx1=fx2
x1+3x1+4=x2+3x2+4
x1x2+4x1+3x2+12=x1x2+3x1+4x2+12
4x1-3x1=4x2-3x2
x1=x2

∴fx es inyectiva

3. fx=x2-4
fx1=fx2
x12-4=(x2)2-4
x12=x22
x12=x22
x1=x2 Contraejemplox y
∴fx no es inyectiva
2 0
-2 0

4. fx=x2-8x+12
y=x2-8x+16+12-16
y=x-42-4
fx1=fx2
x1-42-4=x2-42-4
x1-42=x2-42x1-42=x2-42
x1-4=x2-4 Contraejemplo

x y
∴fx no es inyectiva
6 0
2 0

5. fx=x2+10x+15 Si x>-5
y=x2+10x+25+15-25y=x+52-10
fx1=fx2
x1+52-10=x2+52-10
x1+52=x2+52
x1+52=x2+52
x1+5=x2+5 - -5 +
x+5 | - | + |
x1+5=x2+5
x1=x2

∴fx es inyectiva
En una parábola:

Cuando...