Jackknife method

Enfoque estadístico del aprendizaje
Métodos Jackknife y Monte Carlo

Bibligrafía Efron B and Tibshirani R (1993). An introduction to the Bootstrap. Monographs on Statistics and applied Probability 57. Chapman & Hall. Pp 436 Bryan F. J. Manly (2007) Randomization, Bootstrap and Monte Carlo Methods in Biology. Third Edition. London. Pp: 81-91

Resampling
de Remuestreo. Parten de un conjuntode datos inicial, sustraen muestras y sobre ellas realizan descripciones o inferencias estadísticas intentando conocer la distribución de un estimador de interés.
-Procedimiento -Técnicas

General

Jackknife replications

S (X*1)

S (X*2)

S(X*n)

Jacknife samples

X*1

X*2

X*n

X= (X1, X2,X3, Xi … Xn)
Conjunto de datos

Donde S(X) es el estimador de interés , n el númerode muestras y cada una de las muestras X*i presentan n-1 observaciones

Método Jackknife
Jackknife es una técnica propuesta con objeto de describir un enfoque general para las pruebas de hipótesis y el cálculo de los intervalos de confianza en situaciones donde no hay mejores métodos fáciles de utilizar (Manly, 2007). Es una técnica útil para la estimación de sesgo y error estándar de unestimador. (Efron –Tibshirani, 1993).

Método Jackknife
Suponiendo una muestra de la población X = (X1, X2, … Xn) y un estimador Ѳ = S (X). Para la estimación del sesgo y el error estándar de Ѳ, Jackknife se centra en la replicación de la muestra dejando una observación afuera por cada replicación. X(i) = ( X1, X2, … Xi-1, Xi+1, … Xn) donde i = 1, 2, … n son las muestras Jackknife replicadas detamaño n-1

Luego, para cada una de las muestras Jackknife se calcula el estimador de Ѳ(i).

Método Jackknife
La estimación del sesgo se define como: biasjack = (n-1) (Ѳ (.) – Ѳ) Donde Ѳ (.) = ∑ Ѳ (i) / n
Es decir, la media del estimador calculado sobre las muestras y Ѳ es la estimación sobre la muestra inicial.

La estimación del error estándar se define como: Sejack = √ [ n-1 (∑ Ѳ (i) – Ѳ(.) ) ^2] n
Donde Ѳ (i) = valor de la estimación muestral (pseudo valor) Ѳ (.) = ∑ Ѳ (i)/n, es decir, la media de las estimaciones muestrales. (n-1)/n es llamado factor de inflación que lo diferencia del cálculo de error de bootstrap.

Método Jackknife
Otra forma de expresar Sejack: Si s = √ [ ∑ Ѳ (i) – Ѳ (.) ) ^2 / (n-1) ] Entonces Sejack = S / √n En base a las fórmulas expresadas podemoscalcular intervalos de confianza para la estimación de la siguiente forma: Ѳ(.) ± tα/2, n-1 * S/√n Donde tα/2, n-1 es el valor que excede la probabilidad α/2 para la distribución t con n-1 grados de libertad.

Método Jackknife - Ejemplificación
Dada la siguiente muestra: 3.56, 0.69, 0.1, 1.84, 3.93, 1.25, 0.18, 1.13, 0.27, 0.5, 0.67, 0.01, 0.61, 0.82, 1.7, 0.39 , 0.11, 1.2, 1.21, 0.72
1 2 3 4 56 7
0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18

8
1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13

9 10
0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.511
0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67

12
0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

13
0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61

14 15
0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.820.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 0.82 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7

16
0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39

3.56 0.69 0.69 3.56 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56 0.69 3.56...