Jacobiano

JACOBIANO DE UNA FUNCIÓN DE N VARIABLES.
a) Definición.- Sea una función (transformación) continuamente diferenciable dado por , donde ,


El Jacobiano de F es dado por:


Ejemplo.- Lafunción que transforma coordenadas polares en coordenadas cartesianas está dado por donde , entonces el Jacobiano de es:



Ahora daremos la definición en forma más general.

b) Definición.-Consideremos una función definida en un conjunto cerrado , es decir:

Supongamos que es una función continuamente diferenciable y uno a uno en un conjunto abierto .
Si es un conjunto cerradocontenido en tal que es la imagen de en ; es decir:


Como las funciones coordenadas son entonces el Jacobiano de es:

Ejemplo.- Sea una transformación definida por donde , entonces el Jacobianode es:


CAMBIOS DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES.
En las integrales ordinarias el método de sustitución nos permitía calcular integrales complicadas, transformándola en otras mássencillas, es decir:

En forma similar existe un método para las integrales dobles, es decir, que se transforma una integral doble de la forma , extendida a una región del plano en otra integral dobleextendida a una región del plano .
Para esto se verá la relación entre las regiones y y los integrandos y .
El método de sustitución en las integrales dobles es más laborioso que en las integralessimples, puesto que en lugar de una función ahora se tiene dos funciones e que relacionan a con en la forma siguiente .

Geométricamente, puede considerarse que las dos ecuaciones definen una“aplicación” que hace corresponder a un punto del plano , el punto imagen del plano y que la aplicación puede expresarse mediante una función vectorial.
En el plano trazamos el radio vector que une elorigen con el punto de la región , el vector depende de y , y se puede considerar como una función vectorial de dos variables definida por la ecuación:

Esta ecuación se llama ecuación...