El jacobiano

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EL JACOBIANO
PRESENTACIÓN

En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.
En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva,donde la curva puede ser embebida.
El jacobiano es simplemente un determinante que sirve para pasar o transformar de un sistema de coordenas a otro. También se llama determinante funcional.

Por ejemplo para pasar de un sistema rectangular a polar, de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas esféricas, etc.

Se usa mucho en el análisis tensorial.
RESEÑA HISTORICACarl Gustav Jacobi nació en Potsdam en 1804 en el seno de una familia judía en Alemania.
Jacobi estableció con Niels Henrik Abel la Teoría de las funciones Elípticas. Demostró la solución de integrales elípticas mediante la aplicación de las funciones, series exponenciales introducidas por él mismo.
En 1831 contrajo matrimonio con Marie Schwinck. Dos años más tarde, su hermano Moritz se fue avivir también a Königsberg. La influencia de su hermano mayor le causó un gran interés por la física. Durante esta época trabajó principalmente en ecuaciones diferenciales y determinantes, estudiando, entre otros asuntos, el concepto que hoy en día se conoce como jacobiano. Publicó el fruto de estos años en Sobre la formación y propiedades de los determinantes.
El padre de Jacobi era banquero y sufamilia era muy próspera, fue así como él recibió una buena educación en la Universidad de Berlin. Obtuvo su Doctorado en 1825 y enseñaba matemática en Koningsberg desde 1826 hasta su muerte, fue denominado para una cátedra en 1832.
En 1834 probó que si una función uni valuada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los periodos es imaginaria. Este resultado impulsóenormemente el trabajo en esta área, en particular por Liouville y Cauchy.
Jacobi tenía la reputación de ser un excelente maestro, atraía a muchos estudiantes. Introdujo un método de seminario para enseñar a los estudiantes los últimos avances matemáticos.

IMPORTANCIA UTILITARIA

El Jacobiano es una matriz que se puede ver como la versión vectorial de la derivada de una función escalar. El Jacobianoes importante en el análisis y control del movimiento de un robot (planificación y ejecución de trayectorias suaves, determinación de configuraciones singulares, ejecución de movimientos coordinados, derivación de ecuaciones dinámicas).

MATRIZ JACOBIANA

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicacionesmás interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos basesdiferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera [pic]continua es decir se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:

2 Función EscalarEmpecemos con el caso más sencillo de una función escalar [pic]en este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable pude verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es...
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