Aplicación del Teorema Jacobiano en Integrales Dobles

Cambio de variables

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano. El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
Si se utiliza una transformación que siga la relación:

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

A continuación se dan algunos ejemplosde estas transformaciones.
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
[pic]
Por ejemplo:
Si la función es [pic]
aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a φ y a ρ.
[pic]
Se pueden obtener funciones incluso más simples:
Si la función es [pic]
Uno tiene:
[pic]
Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinante jacobiano de la transformación es:
[pic]
El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a φ.
Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada [continua]

Leer Ensayo Completo

Cite este ensayo

APA

(2011, 01). Jacobiano con integrales. BuenasTareas.com. Recuperado 01, 2011, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Jacobiano-Con-Integrales/1447415.html

MLA

"Jacobiano con integrales" BuenasTareas.com. 01 2011. 2011. 01 2011 <http://www.buenastareas.com/ensayos/Jacobiano-Con-Integrales/1447415.html>.

MLA 7

"Jacobiano con integrales." BuenasTareas.com. BuenasTareas.com, 01 2011. Web. 01 2011. <http://www.buenastareas.com/ensayos/Jacobiano-Con-Integrales/1447415.html>.

CHICAGO

"Jacobiano con integrales." BuenasTareas.com. 01, 2011. consultado el 01, 2011. http://www.buenastareas.com/ensayos/Jacobiano-Con-Integrales/1447415.html.