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Definición de Sucesión

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).
Ejemplo:
an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

2 teoremas
Teorema: (Riemann)
Si 4ån=1xn es una serie con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, tal que (xn) ®0, y queå"positivos" = +4 y å"negativos" = -4, entonces se puede reordenar de forma que sume lo que queramos. Más aún, se puede reordenar de forma que la sucesión de sumas parciales tenga como conjunto de valores de adherencia cualquier intervalo cerrado (acotado o no)
[a, a], [a, b], [a, +4[,]-4,a], ]-4,+4[
Reordenación de 4ån=1(-1)n/n de forma que la sucesión de sumas parciales tenga comovalores de adherencia a todos los números reales.
- Sumas positivos hasta sobrepasar al 1 por la derecha.
- Sumas negativos hasta sobrepasar al -1 por la izquierda
- Sumas positivos hasta sobrepasar al 2 por la derecha.
- Sumas negativos hasta sobrepasar al -2 por la izquierda
- Sumas positivos hasta sobrepasar al 3 por la derecha

Ejemplo:
La serie:
2 - 1 + 1 - ½ + 2/3 - 1/3 + 2/4 - ¼ + 2/5- 1/5 +............... es alternada (+, -,+, -, +,.......) y tal que la sucesión de sus términos converge a 0.
Sin embargo esa serie no es numerable ("suma" +4).
Ocurre que la sucesión de valores absolutos de sus términos no converge monótona-mente a 0. Es decir, no verifica la condición suficiente para la sumabilidad que vimos ayer.

Definición:
Se dice que la serie 4ån=1xn es absolutamentesumable cuando es sumable la serie de términos positivos, 4ån=1|xn|

Proposición:
Toda serie absolutamente sumable es sumable. (El recíproco no es cierto. Basta saber que 4ån=1(-1)n/n es sumable, pero 4ån=11/n no lo es)

Demostración:
Supongamos que 4ån=1|xn| es sumable. Esto significa (condición de Cauchy) que " ε>0, $ u Î N / q > p > υ Þ qån=p|xn| < ε (la sucesión de sumas parciales deaquella serie es de Cauchy). Pues bien, basta tener en cuenta que:
|qån=p xn| ≤ qån=p|xn| para obtener que también la serie 4ån=1xn verifica condición de Cauchy.

Teorema:
Si 4ån=1xn es absolutamente sumable entonces es incondicionalmente sumable (Recordemos que 4ån=1xn es incondicionalmente sumable (reordenable) cuando cualquiera que sea la biyección φ : N ® N, 4ån=1xn es sumable y con la mismasuma que la dada).
[Es más, absolutamente sumable Û incondicionalmente sumable]

Demostración:
Supongamos que 4ån=1xn es absolutamente sumable y que σ : N ® N es una biyección.
Veremos primero que también 4ån=1x σ (n)es absolutamente sumable y segundo que tiene la misma suma que la dada.

1°.- Que 4ån=1xn es absolutamente sumable significa que: " ε> 0, $ u ÎN / q > p > υ Þ qån=p|xn| < ε .Esto implica que 4ån= υ |xn| ≤ ε(Recuérdese que la suma de la serie de términos positivos 4ån=1|xn| es el límite de (|x υ |,|x υ | + |x υ +1|,|x υ | + |x υ +1| + |x υ +2|,.....) el cual es igual, la sucesión es creciente, al sup {|x υ |,|x υ | + |x υ +1|,......}).
Por otra parte, como σ es una biyección, existe υ ´ Î N tal que {1, 2, ......, υ} ÌÌ { σ (1), σ (2),............, σ (υ)}, por tanto q> p > υ ´Þ qån=p|x σ (n)| ≤ 4ån= υ |xn| ≤ ε Þ 4ån=1|x σ (n)| verifica la condición de Cauchy.

2°.- Sea s la suma de 4ån=1xn y t la suma de 4ån=1x σ (n).
Queremos ver que s = t, o lo que es lo mismo, que " ε> 0 |s - t| < ε
La clave de la demostración s = t está en la siguiente desigualdad:
|s - t| ≤|s - n åk=1 xk| + |n åk=1 xk - m åk=1 x σ (n)| + |m åk=1 x σ (n)- t|
Dado ε > 0,
Por ladefinición de s, $ υ1 Î N / n > υ 1 Þ|s - n åk=1 xk| < ε /3
Por la definición de t, $ υ2 Î N / n ≤ υ2 Þ ||m åk=1x σ (n)- t| < ε /3
Sabemos,además, que $ υ3 Î N 4ån= υ 3|xn| < ε /3 (esto estaba en la primera parte)
Por tanto, si tomamos υ Î N tal que υ = máx. { υ 1, υ 2, υ 3}y {1, 2,......, υ 3} Ì
Ì {σ(1), σ (2),........, σ(υ)}entonces |n åk=1 xk - m åk=1 x σ (n)|≤ 4ån= υ 3|xn| < ε /3 Þ|s - t| < ε...
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