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ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO:
La longitud (norma) de un vector de Rn es V = (v1, v2, ..., vn ) esta dada por:
________________
||V|| =" v12 + v22 + ... + vn2 esta no puede ser negativa si el vector v = 1 este se llama vector unitario dos vectores U y V en Rn son paralelos si al vector V es múltiplo del vector U, es decir, si U = cV si c > 0 losvectores van a la misma dirección y si c < 0 van en dirección opuesta, la longitud de un múltiplo escalar se ve por la formula || cV || = | c | || V || donde | c | es el valor absoluto de c y c es un escalar.
El vector unitario de V es si V " 0 entonces U = V / ||V|| es de longitud uno y tiene la misma dirección de U+V se llama vector unitario en dirección de V este proceso se llama normalizacióndel vector V.
La distancia entre dos puntos se llama normalización del vector V.
___________________
d =" (u1 - v1 )2+ (u2 - v2 )2 y la distancia entre dos vectores en R2 se encuentra .
___________________
d(U,V) = || U - V || =" (u1 - v1 )2+ (u2 - v2 )2 donde U = (u1 - u2 ) y V = (v1 - v2 ).
Las propiedades que cumple la distancia son:
 d( U , V ) " 0.
 d( U , V ) = 0 si solo si U = V. d( U , V ) = d( V , U ).
Para encontrar el ángulo entre dos vectores distintos de cero usamos la formula:
Cos = (u1v1 + u2v2) / ||U|| ||V|| donde U = ( u1, u2 ) y V = ( v1 , v2 ) y donde u1v1 + u2v2 se denota como producto punto de dos vectores. El producto punto para Rn se denota U % V = u1v1 + u2v2 + ... + unvn las propiedades que cumple son :
 U % V = V % U
 U % (V + W) = U % V + U% W
 c ( U % V ) = cU % V = U % cV
 V % V " ||V|| 2
 V % V " 0 y V % V = 0 si solo si V = 0
Donde c es un escalar y que U, V, W son vectores cualesquiera en Rn.
Desigualdad de gauchy - schawarz:
La desigualdad de Gauchy - Schwarz dice que | U % V | " || U || || V || don de | U % V | es valor absoluto de U % V donde U y V son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el ánguloentre dos vectores en Rn así : Cos = (U % V ) / (||U|| ||V||) esta formula no define ángulos entre dos vectores, si U % V = 0 se dice que los ángulos son ortogonales.
La desigualdad del triangulo:
Dice si U y V son vectores entonces || U + V || " || U || + || V ||.
El teorema de Pitágoras:
Este dice si U y V son vectores entonces || U + V ||2 = || U || 2 + || V || 2 solo para vectoresortogonales.
Un producto punto es un producto interno Euclidiano esto es un producto interno que se puede definir en R2. para poder diferenciar el producto interior de otros posibles productos internos lo escribiremos esto será el producto general para el espacio vectorial V.
Para solucionar un producto interno se procede igual que al definir un espacio vectorial en el acho de que debe cumplir convarios axiomas para poder calificar como producto interno estos axiomas son:
Siendo U, V, W vectores en V y c cualquier escalar:
 =
 = + o = +
 c =
 " 0 y = 0 si solo si v = 0
 = = 0
Para definir la norma, distancia, ángulo de dos vectores que tenga producto interno:
siendo U, V vectores en V:
______
norma = ||U|| = "
distancia entre U, V = d= || U - V ||
ángulo entre vectores U,V diferentes de 0 cos = / ( ||U|| ||V|| ) donde 0 " " .
Dos vectores con producto interno son ortogonales si = 0. El vector unitario de un vector con producto interno || U || = 1 el vector unitario en dirección de V donde U = V / || V || donde V " 0. Para ver si U y V son vectores en el espacio con producto interno deben cumplir con las propiedades de norma:
 || U || " 0.
 || U || = 0 sisolo si U = 0.
 || cU || = | c | || U ||.
Y las propiedades de la distancia antes ya mencionadas.
Además cumplen con la desigualdad de Gauchy - Schawarz, desigualdad del triangulo y el teorema de Pitágoras antes yya explicadas.
Proyecciones ortogonales en espacios con producto interno:
Si U y V son vectores en el plano y V es diferente de 0 entonces este se puede proyectar ortogonalmente...
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