Jordan

Demostraciones Elementales del Teorema de Jordan para Matrices 2 × 2 y 3 × 3.

RESUMEN. Se presentan aqu´ demostraciones elementales de la existencia de bases de Jordan para endoı morfismos lineales del plano y del espacio, cuyas matrices no tienen valores propios complejos. Las demostraciones se hacen fijando la atenci´n en ciertos subespacios invariantes, que cuando son rectas, o est´nformados por vectores propios. Son adecuadas para explicaci´n en clase cuando la demostraci´n a o o completa del Teorema de Jordan es dif´ de abordar. ıcil Adem´s, queda razonado el m´todo de hallar la base de Jordan. a e Tambi´n se exponen ejemplos de los casos correspondientes a las matrices 3 × 3. e ´ INTRODUCCION. Las matrices de n´meros reales de Mn×n (R) pueden considerarse tambi´n matrices den´meros u e u n n complejos. Determinan endomorfismos de R y de C . Dada una matriz A ∈ Mn×n (R) con n´meros u reales, vamos a llamar f al endomorfismo de Rn de matriz A en la base can´nica y f el endomorfismo o de la misma matriz en C n , tambi´n en la base can´nica. Diremos que A es diagonalizable sobre R e o si f es diagonalizable y que A es diagonalizable sobre C si f es diagonalizable. Es obvio quesi f es diagonalizable, f lo es y que si f no es diagonalizable, f tampoco lo es. Si A es diagonalizable sobre R existe una matriz de n´meros reales: C, tal que C −1 AC = D es u diagonal. En este caso se dice que A es equivalente a D en R. Si A es diagonalizable sobre C existe −1 una matriz de n´meros complejos: C, tal que C AC = D es diagonal. En este caso se dice que A u es equivalente a D enC. La equivalencia de A a D en C no implica la equivalencia de A a D en R .

1

Se llaman cajas de Jordan las matrices cuadradas que tienen iguales todos los elementos de la diagonal, tienen 1 en todos los sitios inmediatamente encima de la diagonal y ceros en los dem´s a sitios (si son de dimensi´n 1, son simplemente n´meros) y se llaman matrices de Jordan a las matrices o u formadas porcajas de Jordan yuxtapuestas en la diagonal. Hay un teorema general, que no demostraremos aqu´ que afirma la equivalencia en C de toda ı, matriz de n´meros complejos a una matriz de Jordan de n´meros complejos. (Puede verse Castellet u u (1991) y Hern´dez (1987). Como dicen Galperin y Waksman (1981) las demostraciones cl´sicas a a de este teorema requieren cierta maquinaria de teor´ de m´dulos,espacios cocientes y matrices de ıa o polinomios. Y como dicen Fletcher y Sorensen (1983), al ense˜ar un curso introductorio de ´lgebra n a lineal, aunque ser´ deseable introducir la forma can´nica de Jordan, ´sta requiere normalmente ıa o e mayor preparaci´n de la justificada en el curso. Ha habido autores: Filippov (1971), Fletcher y o Sorensen (1983), Galperin y Waksman (1981), W¨liao (1986) quehan dado demostraciones de la a existencia de dicha equivalencia usando s´lo conocimientos elementales de aplicaciones lineales y o de matrices. En espa˜ol puede verse Strang (1980) que expone una demostraci´n pr´xima a la de n o o Filippov (1971). Tambi´n, para el caso 2 × 2, pueden verse Hern´ndez (1987) y Grossman (1991). e a La forma de Jordan de una matriz con n´meros reales es un casoparticular de la forma de u Jordan de una matriz con n´meros complejos. En los resultados que vamos a ver nos vamos a u referir directamente a la forma de Jordan de matrices de n´meros reales no diagonalizables en C. u Sin embargo, las demostraciones de los resultados an´logos para matrices con n´meros complejos no a u diagonalizables sobre C de estas dimensiones pueden construirse exactamente igual. Enel transcurso de las demostraciones, se ve que a una matriz dada le corresponde s´lo una o forma de Jordan porque s´lo puede estar en uno de los casos considerados. o Cuando consideramos espacios vectoriales sobre C, la suma de las multiplicidades algebraicas de los valores propios de un endomorfismo es igual a la dimensi´n del espacio; esto sigue siendo cierto o para endomorfismos de espacios...