Jose mariano

Calculo Infinitesimal

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada seaigual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo
Calcular la integral \int\sec^2(x) \, dx.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto: \int \sec^2(x)\,dx = \tan(x).

Ejemplo
Calcular la integral \int\frac{1}{x}\, dx.Una fórmula estándar sobre derivadas establece que \frac{d\, \ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}. De este modo, la solución del problema es \int \frac{1}{x}\, dx = \ln(x).

No obstante, puesto que lafunción \frac{1}{x} esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, asi que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)
Método de integración por sustitución[editar]

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral oantiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla dela cadena en la derivación.
Procedimiento práctico [editar]

Supongamos que la integral a resolver es:
\int^3_{-2} x \cos (2x^2+3) dx

En la integral reemplazamos \ 2x^2+3 con (u):
\int^3_{-2}x \cos (u) dx (1)

Ahora necesitamos sustituir también \ dx para que la integral quede sólo en función de \ u:

Tenemos que \ 2x^2+3=u por tanto derivando se obtiene \ 4x dx=du

Se despeja \dx=\frac{du}{4x} y se agrega donde corresponde en (1):
\int^3_{-2} x \cos (u) \frac{du}{4x}

Simplificando:
\int^3_{-2} \cos (u) \frac{du}{4}

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por...