Katya

Distancia de un punto a una recta
[pic]
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.[pic]
[pic]
Ejemplo
Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.
[pic]Distancia al origen de coordenadas
[pic]

Ejemplo
Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.
[pic]

Distancia entre rectas

[pic]Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.[pic]
 
Ejemplo
Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Otra manera de expresar la distancia entre dos rectas es:
[pic]
EjemploHallar la distancia entre las rectas:
[pic]
[pic]
[pic]

Es fácil comprobar que este mínimo se realiza en el proyectado ortogonal de A sobre D, es decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') seaperpendicular a ella. En efecto, si se toma otro punto cualquiera B de (D), entonces en el triángulo rectángulo AA'B, la hipotenusa AB es más larga que el cateto AA'. Geométricamente se construye elproyectado A' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto A; luego se mide la longitud AA'.
[pic]
Un objetivo más ambicioso es el de encontrar una manera decalcular esta distancia, es decir sin pasar por una medición gráfica, forzosamente aproximativa. Para ello, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortonormal - [pic]en la figura. La recta yel punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente: [pic]; y [pic]
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del...